Convergencia uniforme de una sucesión de funciones y equicontinuidad

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico compacto.

Me gustaría demostrar que si $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia de funciones continuas $f_n:X \to Y$ que convergen uniformemente en $X$ entonces $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una familia de funciones uniformemente equicontinua.

Sé que si $X$ es compacta uniformemente equicontinua es equivalente a equicontinua. Pero tampoco sé cómo demostrar esta afirmación.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Asumo que $Y$ es un espacio métrico, cuya métrica también escribo como $d$ . También utilizaré sin prueba el hecho de que una función continua en un espacio métrico compacto es uniformemente continua.

Sea $f$ denotan el límite de la secuencia $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ . Sea $\epsilon > 0$ - deseamos encontrar $\delta >0$ para que $d(x,y)<\delta\implies d(f_n (x),f_n (y))<\epsilon$ para todos $x,y\in X$ y todos $n$ .

Por convergencia uniforme de $(f_n)$ a $f$ Elige $N$ lo suficientemente grande para que $n>N$ implica $\Vert f-f_n \Vert_\infty<\epsilon /3$ .

Ahora, para cada $n\le N$ Elige $\delta_n>0$ para que $d(x,y)<\delta_n$ implica $d(f_n(x),f_n (y))<\epsilon$ . Además, elija $\delta_f>0$ para que $d(x,y)<\delta_f$ implica $d(f(x),f (y))<\epsilon/3$ (posible por la continuidad uniforme de $f$ que viene dado en parte por el Teorema del límite uniforme ).

Por último, toma $\delta = \min\{\delta _f , \delta_1,\dots ,\delta_N\}>0$ (posible porque se trata de un conjunto finito).

Ahora dejemos que $x,y\in X$ avec $d(x,y)<\delta$ . Para $n\le N$ hemos terminado, porque $d(x,y)<\delta\le \delta_n$ . Entonces para $n>N$ utilizamos la desigualdad del triángulo: $$d(f_n(x),f_n(y))\le d(f_n(x),f(x))+d(f(x),f(y))+d(f(y),f_n(y))\\ <\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}=\epsilon$$ y ya está.

Answer 2

Sea $(X,d_X)$ sea un espacio métrico compacto y sea $(Y, d_Y)$ sea un espacio métrico. Supongamos que $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ es una sucesión de funciones continuas sobre $X$ con valores en $Y$ y supongamos $f_n \to f$ uniformemente en $X$ . Sea $\varepsilon>0$ se dará. Por la definición de convergencia uniforme, sabemos que existe $N \in \mathbb{N}$ para que \begin{equation} \sup_{x \in X} \,d_Y\left(\,f_n(x),f(x)\right)<\frac{\varepsilon}{6} \text{ whenever } n \geq N. \end{equation} Desde a $(d_X, d_Y)$ -será uniformemente continua en el espacio métrico compacto $(X,d_X)$ sabemos que existe $\delta_N>0$ para que \begin{equation} d_Y\left(\,f_N(x),f_N(y)\right)<\frac{\varepsilon}{3} \text{ whenever } d_X(x,y)<\delta_N \text{ and } x,y \in X. \end{equation} Por lo tanto, hemos demostrado que \begin{align} \ \,d_Y\left(\,f(x),f(y)\right) & \leq d_Y\left(\,f(x),f_N(x)\right)+d_Y\left(\,f_N(x),f_N(y)\right)+d_Y\left(\,f_N(y),f(y)\right) \\& < \frac{\varepsilon}{6}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{6}=\frac{4\varepsilon}{6} \; \text{ whenever } d_X(x,y)<\delta_N \text{ and } x,y \in X. \end{align}

Obsérvese que ahora hemos demostrado que si $x,y \in X$ , $d_X(x,y)<\delta_N$ y $n \geq N$ entonces \begin{align} \ \,d_Y\left(\,f_n(x),f_n(y)\right) & \leq d_Y\left(\,f_n(x),f(x)\right)+d_Y\left(\,f(x),f(y)\right)+d_Y\left(\,f(y),f_n(y)\right) \\& < \varepsilon. \end{align} Puesto que cada función de la colección finita $\{ f_1, \ldots, f_{N-1}\}$ es uniformemente continua en $X$ sabemos que para $k=1,\ldots, N-1$ existe un número $\delta_k>0$ para que \begin{equation} d_Y\left(\,f_k(x),f_k(y)\right)<\varepsilon \; \text{ whenever } d_X(x,y)<\delta_k \text{ and } x,y \in X. \end{equation} Configuración $\delta = \min \{\delta_1, \ldots, \delta_{N-1}, \delta_N \}$ muestra que la colección de funciones $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$ cumple la definición de familia uniformemente equicontinua en $X$ .