Caracterización de la función traza

Question

Sabemos que la traza de una matriz es un mapa lineal para todas las matrices cuadradas y que $\operatorname{trace}(AB)=\operatorname{trace}(BA)$ cuando la multiplicación tiene sentido.

En el Página de Wikipedia para traza bajo propiedades, dice que estas propiedades caracterizan la traza completamente en el siguiente sentido: Si $f$ es una función lineal en el espacio de matrices cuadradas que satisface $f(xy)=f(yx)$ entonces $f$ y $\operatorname{tr}$ son proporcionales. A nota en la parte inferior de la página da la justificación, pero no entiendo su lógica. Gracias

Answer 1

Sea $f$ sea un mapa de este tipo y $E_{ij}$ sea la matriz con un uno en $(i,j)$ -y cero en el resto. Tenemos

$$E_{ij}E_{kl}=\left\{\begin{array}{cc} 0, &\mbox{ if } \; j \neq k \\E_{il}, & \mbox{ if } \; j=k\end{array}\right.$$

Por lo tanto, si $i\not=j, \; E_{ij}=E_{i1}E_{1j},$ entonces, por hipótesis,

$$f(E_{ij})=f(E_{i1}E_{1j})=f(E_{1j}E_{i1})=f(o)=0,$$

y

$$f(E_{ii})=f(E_{i1}E_{1i})=f(E_{1i}E_{i1})=f(E_{11})$$

para cada $1 \leq i \leq n.$

Ahora, dejemos que $C=\sum_{1\leq i,j \leq n}a_{i,j}E_{ij}$ sea un vector en la base anterior, entonces

$$f(C)=\sum_{1\leq i,j \leq n}a_{ij}f(E_{ij})=\sum_{i=1}^n a_{ii}f(E_{11})=f(E_{11})\sum_{i=1}^n a_{ii}=f(E_{11})tr(C).$$

Answer 2

La prueba de esa nota depende de los siguientes hechos que se omitieron.

1. Si $i\neq j$ entonces $[e_{ii},e_{ij}]=e_{ii}e_{ij}-e_{ij}e_{ii}=e_{ij}-0=e_{ij}$ . Así que podemos escribir $e_{ij}$ como conmutador $e_{ij}=xy-yx$ y así $f(e_{ij})=f(xy)-f(yx)=0.$
2. Si $i\neq j$ entonces $[e_{ij},e_{ji}]=e_{ii}-e_{jj}$ y obtenemos que $$ f(e_{jj})=f(e_{jj})+0=f(e_{jj})+f([e_{ij},e_{ji}]=f(e_{jj}+(e_{ii}-e_{jj}))=f(e_{ii}). $$

Answer 3

Sí, se nos da una función sobre matrices cuadradas de un tamaño fijo, llamémosla $f,$ con tres propiedades, matrices cuadradas $A,B$ y constante $c.$ Así que..: $$f(A + B ) = f(A) + f(B), $$ $$ f(AB) = f(BA), $$ $$ f(cA) = c f(A).$$

Como señaló Paul, la notación $e_{ij}$ significa la matriz con un 1 en la posición $ij$ y 0 en el resto.

Hay algún valor para $f(e_{11}).$ E no saben lo que es.

En primer lugar, para algunos $i \neq 1,$ defina $$ S_i = e_{i1} + e_{1i} $$ Lo principal es que $$ S_i e_{11} S_i = e_{ii} $$ y $$ S_i^2 = I. $$ Así que $$ f(e_{ii}) = f(S_i (e_{11} S_i)) = f( (e_{11} S_i) S_i) = f( e_{11} S_i^2) = f(e_{11}). $$

A continuación, con $i \neq j,$ w $$ e_{ii} e_{ij} = e_{ij} $$ mientras que $$ e_{ij} e_{ii} = 0, $$ la matriz de todos los 0.

Comience con cualquier $B,$ $$f(0) = f(0B) = 0 f(B) = 0.$$

Ahora, para cualquier $i \neq j,$ $$ f(e_{ij}) = f(e_{ii} e_{ij}) = f(e_{ij} e_{ii}) = f(0) = 0. $$

Por último, si las entradas de $A$ son $A_{ij},$ tenemos $$ A = \sum_{i,j = 1}^n A_{ij} e_{ij}, $$ así que $$ f(A) = f(\sum_{i,j = 1}^n A_{ij} e_{ij}) = \sum_{i,j = 1}^n A_{ij} f(e_{ij}) = \sum_{i=1}^n A_{ii} f(e_{ii}) = \sum_{i=1}^n A_{ii} f(e_{11}) = f(e_{11}) \sum_{i=1}^n A_{ii} = f(e_{11}) \mbox{trace} A $$