Eliminación de un parámetro variable para hallar el lugar del pie de la perpendicular de $(10,0)$ a cualquier tangente en $x^2+y^2=16$

Question

Lugar del pie de la perpendicular trazada desde un punto fijo $(10,0)$ en el $x$ -eje a cualquier tangente al círculo $x^2+y^2=16$ es

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Mi intento

Sea la tangente de pendiente $m$ . Entonces la ecuación de la tangente es $y=mx\pm 4\sqrt{1+m^2}$ . Sean ahora las coordenadas del pie de la perpendicular $(x_1,y_1)$ .

$$\dfrac{x_1-10}{-m}=\dfrac{y_1-0}{1}=-\left(\dfrac{-10m+4\sqrt{1+m^2}}{1+m^2}\right)$$

Esto me da las expresiones para $x_1$ et $y_1$ de la que tengo que eliminar el parámetro variable $m$ .

$$\boxed{x_1=\dfrac{m(4\sqrt{1+m^2}-10m)}{1+m^2}+10} \ \boxed{y_1=\dfrac{10m-4\sqrt{1+m^2}}{1+m^2}}$$

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No soy capaz de proceder sobre cómo eliminar $m$ . Se agradece cualquier sugerencia. Incluso sugerencias para resolver esto utilizando diferentes métodos son bienvenidos. Gracias

Answer 1

Sea $L(h,k)$ sea el pie del segmento de recta perpendicular trazado desde $P(10,0)$ en la línea tangente. Entonces la pendiente de este segmento de recta viene dada por $$m=\frac{k}{h-10}.$$ Sea el punto de tangencia $Q(x_1,y_1)$ . Entonces la ecuación de la recta tangente en $Q$ viene dada por $xx_1+yy_1=16$ . Por tanto, la pendiente de esta recta es $-\frac{x_1}{y_1}$ . Utilizando la perpendicularidad, obtenemos $$\frac{k}{h-10}=\frac{y_1}{x_1} \implies \color{red}{kx_1+(10-h)y_1=0}.$$

Pero la cuestión $L$ también se encuentra en él, por lo que $$\color{red}{hx_1+ky_1=16}.$$ Resolución de $x_1$ de la primera ecuación , obtenemos $$x_1=\frac{(h-10)y_1}{k}.$$ Sustituyendo esto en la segunda ecuación obtenemos $$\color{blue}{y_1=\frac{16k}{h(h-10)+k^2}.}$$ Entonces
$$\color{blue}{x_1=\frac{16(h-10)}{h(h-10)+k^2}.}$$ Ahora utiliza el hecho de que $Q(x_1,y_1)$ se encuentra en el círculo, para obtener $$x_1^2+y_1^2=16 \implies \left[\frac{16(h-10)}{h(h-10)+k^2}\right]^2+\left[\frac{16k}{h(h-10)+k^2}\right]^2=16.$$ Esto se simplifica a $$(h(h-10)+k^2)^2=16((h-10)^2+k^2).$$