¿Son los anillos intermedios de extensiones de anillos finitamente generados también finitamente generados?

Question

Es bien sabido que si $K$ es una extensión finitamente generada de algún campo $E$ entonces cualquier campo intermedio $F$ , $E\subseteq F\subseteq K$ también está finitamente generada sobre $E$ .

Tengo curiosidad, ¿ocurre lo mismo con los anillos?

Diga $S$ es un anillo, y $R\supset S$ es una extensión finitamente generada de $S$ . Si $T$ es cualquier anillo intermedio, ¿es necesariamente cierto que $T$ está finitamente generada sobre $S$ como un anillo?

¿Es tan sencillo como decir que para cualquier $t\in T$ , $T$ pueden ser generados por los generadores de $R$ en $S$ ? No estoy seguro de esta afirmación, ya que no me queda claro que los generadores de $R$ en $S$ necesitan estar en $T$ .

Si no es así, ¿cuál es un ejemplo que demuestre lo contrario? Gracias.

Answer 1

Sea $k$ sea un campo. Entonces $k[x, y]$ es una extensión finitamente generada de $k$ pero el subring $R\subseteq k[x,y]$ generado por $\{xy^i:i\geq0\}$ no está finitamente generada.

La vida sería mucho más sencilla en algunos aspectos si la respuesta fuera afirmativa :)