Demostrar que $V = V_1 \oplus V_2$ en el siguiente caso

Question

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ tal que $T^2=1_V$. Definimos

$V_1 = \left\{v\in V |\ T(v) = v \right\}$, $\ V_2 = \left\{v\in V |\ T(v) = -v\right\}$

demostrar que $V = V_1 \oplus V_2$

Para empezar, he demostrado que $V_1\ ,V_2$ son subespacios de $V$. Sin embargo, estoy atascado tratando de demostrar que $\forall \ v\in V,\ v = v_1 + v_2$ donde $v_1 \in V1, v_2 \in V_2$.

Sé que en algún momento tengo que hacer uso de $T^2=1_V$, pero no puedo entender cómo. Cualquier ayuda o idea sería muy apreciada.

Answer 1

Consejo: Para probar que $V=V_1+V_2$, tenemos que demostrar que para cada $v\in V$ existen $v_1\in V_1$ y $v_2\in V_2$ tales que $v=v_1+v_2$. Entonces, toma $v\in V$ y considera $$ v_1 = \dfrac12 (v+T(v)) \quad v_2 = \dfrac12 (v-T(v)) $$

Entonces $v_1\in V_1$, $v_2\in V_2$, y $v=v_1+v_2$.

Queda por demostrar que $V_1 \cap V_2 = 0$:

Si $v \in V_1 \cap V_2$, entonces $v=T(v)=-v$ y así $2v=0$.