$SU(2)_L$ Teoría gauge y aniquilación partícula-antipartícula

Question

Tengo un problema para entender cómo conciliar el vértice de aniquilación partícula antipartícula con la $SU(2)$ teoría gauge, en el contexto de la interacción débil. Permítanme explicar mejor :

Invocando $SU(2)$ invariancia gauge deducimos que debe haber tres bosones gauge, asociados a las tres matrices de Pauli. Tomamos, como de costumbre, la combinación lineal que produce $\sigma_+, \sigma_-$ et $\sigma_z$ que se asocian respectivamente a $W^+, W^-$ et $Z$ . Soy consciente de que debería considerar $U(1)_Y\times SU(2)_L$ pero en el contexto de esta pregunta creo que es irrelevante.

Consideremos ahora los dobletes SU(2), $\begin{pmatrix}l^+\\ l^- \end{pmatrix}$ donde $l^+$ tiene isospín débil $1/2$ et $l^-$ tiene isospina $-1/2$ . Tomemos $\begin{pmatrix}v_e\\ e^- \end{pmatrix}$ encontramos que la corriente débil por acoplamiento al $Z$ bosón es: $$j^{\mu}_Z \propto \begin{pmatrix}\overline{v}_e & \overline{e}^- \end{pmatrix}\gamma^{\mu}\sigma_z \begin{pmatrix}v_e\\ e^- \end{pmatrix}$$ Dónde $\overline{u} = u^{\dagger}\gamma^0$ . Ampliando esto, encontramos que : $$j^\mu_Z=\frac{1}{2}\overline{v}_e\gamma^{\mu}v_e-\frac{1}{2}\overline{e}^-\gamma^{\mu}e^-$$

Dónde, $v_e$ et $\overline{v_e}$ representa los espinores del neutrino, y lo mismo para el electrón. Como podemos ver de esto, parece que el bosón Z acopla partículas del mismo isospín débil. Sin embargo, podemos tener un vértice de aniquilación donde $e^-$ et $e^+$ aniquilarse en un bosón Z, a pesar de que $e^-$ tiene $I_w^{(3)} = -1/2$ mientras que $e^+$ tiene $I_w^{(3)} = 1/2$ . ¿Cómo puede conciliarse esto con la representación de Z como $\sigma_z$ ?

Sé que hay algún problema con mi corriente, ya que obviamente un $e^-$ no puede aniquilarse con un $e^-$ en un vértice como : pero sólo en un vértice como : .

Sin embargo, en mi derivación, no parece haber distinción en cuál de estos vértices estoy considerando, así que confío en que ahí radique mi error, pero soy incapaz de averiguarlo. Creo que de alguna manera, en un vértice de aniquilación, partículas de isospín débil opuesto deberían interactuar mientras que en un vértice de dispersión partículas del mismo isospín débil deberían interactuar. Esto también es consistente con la conservación del isospín débil, pero no soy capaz de entender cómo hacer esta distinción en las corrientes usando $\sigma_Z$ como el acoplamiento del bosón Z.

Answer 1

¿Cómo puede conciliarse esto con la representación de $Z$ a $\sigma_{z}$ ?

No confundir: la isospina $T$ no es la proyección isospínica $T_{3}$ . En $Z$ et $W^{\pm}$ -bosones, así como fermiones, corresponden a las proyecciones definidas de isospín. La diferencia es que los fermiones están en la representación fundamental bidimensional del $SU(2)$ grupo (el llamado $2$ ), con proyecciones de isospín $\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$ mientras que $W^{\pm}, Z$ -están en representación tridimensional adjunta (la llamada $3$ ), con proyecciones de isospín $1,0,-1$ . La proyección isospínica $T_{3}$ de la representación fundamental (digamos, sólo para el electrón) se define como $$ \frac{1}{2}\sigma_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ e\end{pmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 \\ e\end{pmatrix} \equiv T_{3}\begin{pmatrix} 0 \\ e\end{pmatrix} $$ La proyección de isospín de los bosones débiles se determina de forma $$ [\sigma_{3}, \sigma_{i}] \equiv T_{3}\sigma_{i}, $$ donde $\sigma_{i}$ es el generador asociado al bosón en cuestión; véase también la sección pregunta . Para $Z-$ bosón, $i = 3$ y $T_{3} = 0$ para combinaciones lineales de $W_{1,2}$ bosones, a saber, $W_{+} = W_{1} - iW_{2}$ , $W_{-} = W_{1} + iW_{2}$ las proyecciones son $T_{3} = + 1, T_{3} = - 1$ correspondientemente.

Por lo tanto, el operador $\bar{e}\gamma^{\mu}(c_{V} - c_{A}\gamma_{5})eZ_{\mu}$ tiene una proyección de isospín total nula.

Answer 2

El punto principal es que los fermiones barrados tienen "cargas opuestas", o, para grupos no abelianos, se transforman en la representación conjugada.

Las cargas (por ejemplo, la eléctrica) u otros números cuánticos gauge, como el isospín débil, determinan cómo se transforma un campo bajo el grupo gauge. Si los generadores del grupo son $T_i$ (en alguna representación), un fermión no barrado (o cualquier campo en esa representación) se transforma como $$ \psi \longrightarrow e^{\text{i}\alpha_i T_i} \psi\,,$$ donde $\alpha_i$ son algunos parámetros (reales). Esta expresión incluye la convención de que los generadores son Hermitean ( $T^\dagger=T$ ), que es común en física, y requiere un factor de $\text{i}$ en el exponente para que el elemento del grupo sea unitario. (En algunos contextos matemáticos, la convención es utilizar generadores antihermiteanos y no $\text{i}$ en consecuencia).

Esto implica que el fermión barrado, que implica una conjugación compleja, se transforma como $$ \bar\psi \longrightarrow \bar\psi \, e^{-\text{i}\alpha_i T_i} \,.$$ Por lo tanto, en particular tienen "cargas" opuestas bajo los generadores (diagonales) de Cartan, en su caso $\sigma_3$ . Para $U(1)$ grupos, los cargos son efectivamente opuestos, sin comillas -- de lo contrario también debería preguntarse por qué el $Z$ se acopla a partículas con carga eléctrica $-1$ ¡!

Obsérvese que lo mismo ocurre con el término cinético, que en su notación se parece a $$\frac{1}{2}\overline{e}^-\gamma^{\mu}\partial_\mu e^-$$ y, por supuesto, sigue siendo un singlete, es decir, tiene isospín cero.