curvaturas gaussianas y medias

Question

Estoy tratando de revisar, y aprender acerca de cómo calcular y gaussiana y la curvatura media. Dado $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ¿Cómo puedo calcular las curvaturas gaussiana y media?

Esto es lo que tengo hasta ahora, $$K(u, v) = \frac{a^2 b^2 c^2}{[c^2 \sin^2(v) (a^2 \sin^2(u)+b^2 \cos^2(u))+a^2 b^2 \cos^2(v)]^2}$$

Por favor, ayúdeme.

Answer 1

Las ecuaciones paramétricas de un elipsoide pueden escribirse como \begin{align} x &=a \cos u \sin v\\ y &=b \sin u \sin v\\ z &=c \cos v \end{align} para $u \in [0,2\pi)$ et $v \in [0,\pi]$ . En esta parametrización, los coeficientes de la primera forma fundamental son \begin{align} E &= (b^2\cos^2u+a^2\sin^2u)\sin^2v\\ F &= (b^2-a^2)\cos u\sin u\cos v\sin v\\ G &= (a^2\cos^2u+b^2\sin^2u)\cos^2v+c^2\sin^2v \end{align} y de la segunda forma fundamental son \begin{align} e &= \frac{abc\sin^2v}{\sqrt{a^2b^2\cos^2v+c^2(b^2\cos^2u+a^2\sin^2u)\sin^2v}}\\ f &= 0\\ g &= \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2\cos^2v+c^2(b^2\cos^2u+a^2\sin^2u)\sin^2v}}. \end{align} En esta parametrización, la curvatura gaussiana es $$ K(u,v)=\frac{eg-f^2}{EG-F^2}=\frac{a^2b^2c^2}{[a^2b^2\cos^2v+c^2(b^2\cos^2u+a^2\sin^2u)\sin^2v]^2 } $$ y la curvatura media es \begin{align} H(u,v) &=\frac{eG-2fF+gE}{2(EG-F^2)}\\ &=\frac{abc[3(a^2+b^2)+2c^2+(a^2+b^2-2c^2)\cos(2v)-2(a^2-b^2)\cos(2u)\sin^2v]}{8[a^2b^2\cos^2v+c^2(b^2\cos^2u+a^2\sin^2u)\sin^2v]^{3/2}}. \end{align}