Dado que los coeficientes
$$a_k = \frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-c)^{k+1}}\,dz$$
para el de la serie de Laurent
$$f(z)\Big|_{r\le|z|\le R} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\cdot(z-c)^k $$
de una función de $f\in\mathcal H(B(r,R))$ (es decir, una función que es holomorphic en el Anillo de radios $r\le R$), evaluado en un círculo de radio $\rho\in[r,R]$,
$$\tilde a_k := \rho^k a_k = \frac1{2\pi}\int\limits_{\phi=0}^{2\pi} f(c+\rho e^{i\phi}) e^{-ik\phi}\,d\phi \\\Rightarrow f(c+\rho e^{i\phi}) = \sum_{k=-\infty}^\infty \tilde a_k\,e^{ik\phi},$$
son (hasta el factor de $\rho^k$) equivalente a la de los coeficientes de Fourier de una función
$$\tilde f(x):=f\Big(c+\rho e^{i\tfrac x{2\pi\rho}}\Big),\quad x\in[-\pi\rho,+\pi\rho],$$
Me preguntaba si hay una significativa límite de $\rho\to\infty$ para los de Laurent de la serie. Para la serie de Fourier, el límite se convierte en la transformada de Fourier continua con "coeficientes", $\tilde a_k\to \tilde a(k)\equiv \mathcal F\{\tilde f(x)\}(k)$, de tal manera que
$$\tilde f(x) = \int_{-\infty}^\infty \tilde a(k) e^{ikx}\, dk, \\\tilde a(k) = \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde f(x) e^{-ikx}\, dx.$$
Así, en una manera similar, este límite a su vez, el de la serie de Laurent en un "Laurent transformar",
$$f(z)\Big|_{i\le|z|} = \int_{-\infty}^\infty un(k)\cdot (z-c)^k, \\ a(k) = \lim_{R\to\infty} \frac1{2\pi}\cualquier\limits_{|z|=R}\frac{f(z)}{(z-c)^{k+1}}\,dz$$
(hasta algunos de los factores que probablemente se me olvidó, y suponiendo que $f$ permanece holomorphic para $R\to\infty$), describiendo $f(z)$ por sus valores en $\mathbb C$-infinito.
Así que, ¿este sentido, se ha investigado sobre el antes y/o cualquiera de las aplicaciones?
