¿Un álgebra matricial no tiene deformaciones?

Question

He oído a menudo el eslogan de que "un álgebra matricial no tiene deformaciones", y estoy tratando de entender con precisión lo que eso significa. Aunque me encantarían afirmaciones más generales sobre álgebras semisimples de dimensión finita sobre campos no necesariamente cerrados algebraicamente, me interesa sobre todo el caso en que el campo base es $\mathbb{C}$ por lo que la pregunta se formula en términos de álgebras matriciales sobre $\mathbb{C}$ . Plantearé la pregunta en tres contextos diferentes, por orden creciente de interés para mí, y diré lo que sé sobre cada uno de ellos.

Deformaciones formales

Una deformación formal de un asociativo $k$ -álgebra $A$ es un $k[[h]]$ -multiplicación bilineal en $A[[h]]$ de la forma $$ a \cdot b = ab + m_1(a,b)h + m_2(a,b)h^2 + \dots $$ donde el primer término viene dado por la multiplicación original en $A$ . Este tipo de deformación está relacionada con la cohomología de Hochschild $HH^\bullet(A)$ . Según tengo entendido, para un álgebra semisimple $A$ la cohomología de Hochschild desaparece en grado $\ge 1$ y esto implica que un álgebra matricial no tiene deformaciones en el sentido formal. Así que creo que no hay mucha pregunta hasta ahora.

Deformación de las constantes estructurales

En este contexto, fijamos un número natural $n$ y un espacio vectorial $V$ con una base fija $a_1, \dots, a_n$ y consideramos estructuras de álgebra asociativa sobre $V$ . En constantes estructurales de un álgebra $A$ con un espacio vectorial subyacente $V$ con respecto a esta base son los números complejos $c_{ij}^k$ tal que $$ a_i a_j = \sum_{k}c_{ij}^k a_k, $$ y estos números determinan claramente el álgebra. Esto nos da un punto en $\mathbb{C}^{n^3}$ . La asociatividad nos da algunas restricciones polinómicas sobre las constantes de estructura, por lo que podemos pensar en la colección de $n$ -algebras asociativas como una variedad algebraica en $\mathbb{C}^{n^3}$ . (Sé muy poco de geometría algebraica, así que por favor disculpen/corríjanme si estoy usando la terminología equivocada). Dado que se pueden tomar muchas bases diferentes para un álgebra, esta variedad sobrepasa las álgebras asociativas.

No sé cómo se demuestra esto, pero según tengo entendido, la semisimplicidad es una condición abierta de Zariski en la variedad de estructuras de álgebras asociativas, por lo que la semisimplicidad se conserva bajo pequeñas deformaciones, y por tanto una pequeña deformación de $M_n(\mathbb{C})$ sigue siendo semisimple.

Pregunta 1

¿Se conserva la propiedad de ser un álgebra matricial bajo la deformación de las constantes de estructura?

Deformación de las relaciones

Es la configuración más flexible y la que más me interesa. Aquí consideramos álgebras con una colección fija de generadores y un número fijo de relaciones, y permitimos que las relaciones varíen suavemente. Esto permite que la dimensión del álgebra también varíe. Sin embargo, también es la noción más difícil de formalizar.

Un ejemplo ilustrará lo que quiero decir. Consideremos la familia de álgebras $$ A_t = \mathbb{C}[x]/(tx^2 -x),$$ donde $t$ varía en $\mathbb{C}$ . Es evidente que hay un descenso de la dimensión en $t=0$ aunque genéricamente la dimensión es constante. Un ejemplo algo más complicado es el de la familia $B_t$ donde $$ B_t = \mathbb{C} \langle x,y \mid x^2 = y^2 = 0, \quad xy + yx = 2t \rangle.$$ En este ejemplo la dimensión es constante, pero en $t=0$ se tiene el álgebra exterior $\Lambda(\mathbb{C}^2)$ mientras que para $t \neq 0$ es el álgebra de Clifford de $\mathbb{C}^2$ con respecto a una forma bilineal no degenerada, y por tanto $B_t \simeq M_2(\mathbb{C})$ para $t \neq 0$ .

Pregunta 2

¿Cuál es una buena manera de formalizar esta noción de deformación?

Una primera conjetura sería algo así: fijar un espacio de generadores $V$ una serie de relaciones $k$ y un colector de base $M$ (en mis ejemplos anteriores $M=\mathbb{C}$ ). Para limitar un poco las cosas, creo que me gustaría considerar sólo las relaciones cuadrático-lineales. Permitir que estas relaciones varíen significa dar una función suave $$F : M \to \mathrm{Gr}_k(\mathbb{C} \oplus V \oplus V^{\otimes 2})$$ y considerando el "haz" (¿granza?) de álgebras $$ A_p = T(V)/ \langle F(p)\rangle, \quad p \in M $$ en $M$ .

Sin embargo, no estoy seguro de que eso refleje completamente lo que quiero. También podría insistir en que la proyección de cada $F(p)$ en $V^{\otimes 2}$ no tiene núcleo (que no es el caso del primer ejemplo que he descrito, pero sí del segundo).

Pregunta 3

Dada la configuración que acabamos de describir (o una versión convenientemente modificada de su elección), ¿cuáles son algunas condiciones sobre $M$ , $F$ tal que la propiedad " $A_p$ es un álgebra matricial" es local en $M$ ?

Para esta pregunta me interesan principalmente los casos en que $M = \mathbb{R}$ o $M = \mathbb{C}$ aunque, por supuesto, también son interesantes los espacios base más generales.

He oído hablar de algo llamado Locus Azumaya que puede estar relacionado con esto, pero realmente no sé nada más allá del nombre.

¡No sabía que esto sería tan largo! Si todavía estás conmigo, gracias por leer.

Answer 1

Deformación de las relaciones

Respuesta a Pregunta 2 es la siguiente: una deformación de un álgebra $A_0$ parametrizado por un esquema afín puntiforme $*\to X=Spec(B\to k)$ son los datos de un $B$ -álgebra $A$ tal que $A_0\cong A\otimes_B k$ .

Observa que el tipo de deformaciones que estás viendo en la pregunta 1 son las que se denominan "planas".

---

Constantes de estructura deformantes de álgebras matriciales

Para encontrar la respuesta a Pregunta 1 (que es sí) le sugiero que utilice Teorema de Artin-Wedderburn .

EDIT 1: más precisamente, sobre $\mathbb{C}$ cualquier álgebra (semi)simple de dimensión finita es isomorfa a (un producto cartesiano de) álgebras matriciales.

EDIT 2: De todos modos, parece que existe un fenómeno más general (véase el artículo fundacional de Gerstenhaber, Sobre la deformación de anillos y álgebras Ann. of Math. 79 (1), (1964), 59-104): $$ \textrm{absolute rigidity}\Rightarrow \textrm{analytic rigidity}\Rightarrow \textrm{geometric rigidity} $$ donde rigidez absoluta significa que $HH^2(A)=0$ , rigidez analítica significa que no existen deformaciones formales no triviales de $A$ y rigidez geométrica significa que el $GL(V)$ -órbita del punto definido por $A=(V,c_{ij}^k)$ en la variedad de constantes de estructura en $V$ es abierta (esto indica, en particular, que las deformaciones suficientemente pequeñas son triviales). Se puede concluir utilizando que $$ \textrm{semi-simplicity}\Rightarrow\textrm{absolute rigidity} $$

---

Álgebras Azumaya

Por último, si entiendo bien su pregunta 3 tu suposición parece correcta: la noción correcta que hay que mirar es precisamente la de Álgebra Azumaya (si te interesa la relación con las álgebras de Cherednick mencionada en la respuesta de Daniel Larsson, te sugiero que eches un vistazo a los dos o tres últimos capítulos de este libro de Pavel Etingof).

---

Observación final

Permítanme mencionar también que hay muchos trabajos sobre la teoría de la deformación de álgebras cuadráticas por subcuadráticas (véanse las referencias dadas en esta respuesta MO - EDIT: lo siento, esto ya lo sabes porque eres tú quien ha hecho la pregunta).

Answer 2

Tu configuración es muy algebraica y no estoy seguro de la respuesta correcta en una configuración geométrica algebraica. Sin embargo, en un entorno más topológico, se demostró una propiedad de rigidez en

B. Blackadar, Teoría de la forma para $C^\ast$ -algebras . Math. Scand. 56 (1985), nº 2, 249-275.

Allí se demostró que las álgebras matriciales de dimensión finita (y muchas otras interesantes $C^\ast$ -) gozan de propiedades en la categoría de $C^\ast$ -que son análogas a las propiedades de las ANR en la categoría de espacios topológicos compactos de Hausdorff. En particular, si las relaciones de un álgebra matricial de dimensión finita $M_n \mathbb C$ (dadas por un número finito de generadores y un número finito de relaciones) se satisfacen hasta un valor suficientemente pequeño de $\varepsilon$ en la norma del operador en cualquier $C^*$ -álgebra $A$ se puede encontrar una copia de $M_n \mathbb C \subset A$ cerca.

Formalmente, cualquier casi-homorfismo $\pi \colon M_n \mathbb C \to A$ (es decir $\|\pi(ab) - \pi(a)\pi(b)\| \leq \varepsilon \|a\|\|b\|, ...$ para un $\varepsilon$ ) se aproxima a un $*$ -homorfismo.

Answer 3

Aunque no sé la respuesta a las preguntas porque no las entiendo del todo, permítanme hacer algunas observaciones.

Hay una especie de ''malentendido'' de lo que es una deformación. Lo que estás discutiendo aquí es sólo un caso muy especial de una deformación formal. En general, una deformación debería tener lugar en un espacio de moduli (de ensueño) de los objetos que estás deformando. Como tal espacio ''global'' raramente existe, uno se ve forzado a estudiar el problema localmente y/o formalmente (lo que significa que la deformación se describe con un anillo formal de series de potencias).

Veamos primero el caso formal, ya que suele ser el primer paso en un problema de deformación, siendo el objetivo construir la terminación del anillo local del espacio de moduli. Todo problema de deformación lleva asociada una teoría cohomológica. Lo primero que hay que hacer es determinar cuál es esta teoría. Una vez hecho esto, se calcula el espacio tangente al espacio de moduli en el punto (objeto) que nos interesa (en nuestro caso, una matriz). Este espacio tangente es descrito por el primer grupo de cohomología en la teoría de cohomología (por lo general algunos $\mathrm{Ext}^1$ -grupo). Luego se intenta ''elevar'' esta deformación a deformaciones de orden superior para obtener algo formal. Esto se hace ''matando'' obstrucciones en cada nivel de la elevación. Estas obstrucciones viven en un segundo grupo de cohomología (normalmente algún $\mathrm{Ext}^2$ ). Cuando todas las obstrucciones son cero se dice que el problema de deformación es ''sin obstrucciones'' y el anillo que describe la deformación es un anillo formal de series de potencias. Este caso es muy raro, pero se da en muchos problemas de deformación en puntos concretos.

(Quiero señalar que las deformaciones sólo se definen modulo alguna relación de equivalencia y esto es de hecho una cosa muy importante para recordar).

Bien, este anillo formal (es decir, un anillo que es cociente de un anillo formal de series de potencias) debe considerarse ahora la terminación del anillo local en el punto del espacio de moduli. En su configuración esto corresponde a una deformación en un dirección formal en el espacio de moduli. Sin embargo, estás asumiendo implícitamente que la deformación no tiene obstáculos, ya que no has factorizado ningún obstáculo (es decir, no hay relaciones en el anillo de deformación).

Por desgracia, esto es sólo una construcción formal y no "útil" en geometría (al menos en geometría algebraica; supongo que en geometría compleja o analítica el caso formal estaría bien, pero no estoy realmente cualificado para responder a eso). En cualquier caso, uno necesita una algebrización (piense de series de potencia formales a álgebras polinómicas). Hay un teorema profundo debido a Micheal Artin que dice que en muchas situaciones existe tal algebrización, pero está lejos de ser cierto en general y puede ser muy difícil de decidir en casos específicos.

Digamos que tenemos algebraizaciones alrededor de cada punto en el ''espacio de moduli''. Una esperanza inicial es pegar todas estas algebraizaciones a un objeto global. Desgraciadamente, esto rara vez es posible en la categoría de esquemas. Una salida es considerar pilas algebraicas, pero eso es otra historia. En cualquier caso, localmente (formalmente) el módulo está descrito por los anillos de deformación (completos).

La deformación que estás considerando proviene de la ''escuela de Gerstenhaber'' que es, como he dicho, sólo una deformación formal en una dirección con la suposición de que el problema de deformación no tiene obstáculos. Sin embargo, este tipo de deformaciones aparecen a menudo como ''cuantizaciones'' de álgebras de Poisson, álgebras de Lie, grupos cuánticos, etc. Pero en sentido estricto no son deformaciones.

Vale, en cuanto a tus problemas, no entiendo muy bien cómo se supone que puedes deformar un álgebra no conmutativa con un anillo de deformación conmutativo. A mi me parece una cosa totalmente imposible de hacer, al menos si entiendo bien tu montaje. Usted podría posiblemente dar sentido a esto de alguna manera, pero no sé cómo. Por lo tanto, sin duda diría que el problema es rígido (o incluso indefinido).

Si se tratara de deformar matrices concretas, eso sería algo muy distinto, y ciertamente posible, al menos si se olvidan las equivalencias. Sin embargo y esto es importante, tener en cuenta estas equivalencias destruye efectivamente el espacio de moduli aunque localmente bien puede existir. En otras palabras, no es posible pegar los anillos de deformación de una manera sensata sin ir al lenguaje de la pila.

Por lo que veo, el locus de Azumaya no tiene ninguna relación directa con la teoría de la deformación. Tiene que ver con tramas de álgebras sobre un esquema tal que localmente es un álgebra matricial completa. El lugar geométrico de Azumaya son los puntos de los esquemas en los que esto ocurre.

Las otras preguntas parecen estar relacionadas con las álgebras de Cherednik. Véanse los trabajos de Ian Gordon y colaboradores.

Editar : Oh, olvidé la pregunta 2, pero veo que DamienC ya ha dado una respuesta correcta a esa pregunta. No hay mucho más que decir. Permítanme señalar, sin embargo, que las únicas deformaciones razonables en geometría algebraica son las planas, aunque en principio se podrían tomar morfismos más generales.

Answer 4

No es una respuesta exacta a la pregunta, pero puede ser interesante. Puede que el álgebra de matrices no tenga deformaciones interesantes, pero sí parece tener una degeneración interesante. Más concretamente, existe un álgebra $A_t$ con $A_t \cong M_n(\mathbb C)$ cuando $t \not= 0$ tal que $A_{t=0}$ es un álgebra interesante. (Véanse las secciones 1.1 y 2.3 de este documento por Allen Knutson y Paul Zinn-Justin).