Perfecto $\mathbb Z_\ell$ -módulos

Question

$\newcommand{\l}{\ell} \newcommand{\Z}{\mathbb Z}$ Estoy tratando de entender un comentario en Conjeturas de Weil para campos de funciones I por Gaitsgory-Lurie.

Específicamente es la observación 2.3.4.3., que esencialmente dice lo siguiente : un objeto $M$ en $\mathrm{Mod}_{\mathbb Z_\l}$ es perfecto si y sólo si es $\l$ -completo y $M\otimes_{\Z_\l}\Z/\l$ es perfecto en $\mathrm{Mod}_{\Z/\l}$ (esta última condición implica que también es cierto para $M\otimes_{\Z_\l}\Z/\l^d$ para cualquier $d\geq 0$ )

Lo afirman sin pruebas, y parece que no hay pruebas en ninguna otra parte del libro (por lo que veo, aunque no he revisado todo el libro).

Lo que tengo claro es la dirección a seguir : efectivamente $\Z_\l\otimes_{\Z_\l}\Z/\l$ es perfecto sobre $\Z/\l$ y $\Z_\l$ es $\l$ -completa, y estas condiciones están cerradas bajo repliegues, por lo que la sub- $\infty$ -categoría de los $M$ que satisfacen estas últimas condiciones es una subcategoría estable, contiene $\Z_\l$ y se cierra bajo repliegues por lo que contiene todos los perfectos $\Z_\l$ -módulos.

La dirección inversa, sin embargo, no parece tan clara. Creo que hay que utilizar el hecho de que la $\infty$ -categoría de $\l$ -módulos completos es equivalente a $\underset{d}{\varprojlim} \mathrm{Mod}_{\Z/\l^d}$ pero eso no parece ser suficiente ya que queremos $M$ ser compacta en todo el $\mathrm{Mod}_{\Z_\l}$ no sólo en $\l$ -módulos completos.

Answer 1

$\newcommand{\Z}{\mathbb Z_\ell}$ Se respondió a esta pregunta aquí . Permítanme que escriba aquí una respuesta más detallada (teniendo en cuenta los comentarios).

Supongamos que $C$ es una discreta $\Z$ -que es $\ell$ -completo (en $\mathcal D(\Z)$ por lo que se podría decir "derivado $\ell$ -completo"), y tal que $C\otimes \mathbb Z/\ell$ es perfecto como $\mathbb Z/\ell$ -módulo.

En particular, $H_0(C\otimes \mathbb Z/\ell)$ está finitamente generada, y por tanto también lo está $C/\ell$ . Así que podemos encontrar un mapa $\Z^n\to C$ que induce una suryección mod $\ell$ para un número finito de $n$ .

El punto es ahora :

Un mapa $M\to N$ entre (derivado) $\ell$ -completo discreto $\Z$ -que es una suryección mod $\ell$ es una suryección.

Esto es muy elemental si se considera discreto $\ell$ -finalización.

Tenga en cuenta que $M\overset f\to N$ es suryectiva si y sólo si su fibra es conectiva, así que dejemos que $K\to M\to N$ sea la secuencia de fibras asociada (nótese que $K$ es $\ell$ -completo, ya que el $\infty$ -categoría de $\ell$ -módulos completos es cerrado bajo límites). Entonces $K\otimes \mathbb Z/\ell \to M\otimes \mathbb Z/\ell \to N\otimes \mathbb Z/\ell$ es también una secuencia de fibras, y debido a nuestra suposición, $K\otimes \mathbb Z/\ell$ es conectivo.

Pero ahora $K\to K\to K\otimes \mathbb Z/\ell$ sea la secuencia obvia de fibras, y tomemos su secuencia exacta larga asociada de grupos de homotopía : obtenemos que $\ell : \pi_n(K)\to \pi_n(K)$ es suryectiva para todo $n<0$ .

$\pi_n(K)$ es también $\ell$ -completa, y esto implica que es $0$ (de hecho, si $X$ es una (derivada) $\ell$ -completo discreto $\Z$ -módulo, $\hom(\Z[ 1/\ell ], X) = 0$ ).

Por lo tanto $K$ es conectivo, por lo que $M\to N$ es efectivamente suryectiva.

Por lo tanto $\Z^n\to C$ era suryectiva, por lo que $C$ está finitamente generada, y en particular es una perfecta $\Z$ -módulo.

Pasemos ahora al caso general : supongamos $C\in \mathcal D(\Z)$ es $\ell$ -mod completo y perfecto $\ell$ . Entonces porque $C\simeq \bigoplus_n H_n(C)[n]$ ( $\Z$ es un PID), lo mismo ocurre con $H_n(C)$ para todos $n$ en particular todos $H_n(C)$ están finitamente generados.

Por último, sólo un número finito de $H_n(C)$ son distintos de cero porque son $\ell$ -completo y por lo tanto no puede ser matado por $\otimes \mathbb Z/\ell$ . Con esto concluye la prueba.