¿Cómo establecer que una matriz antiidempotente es singular?

Question

En álgebra lineal, las matrices idempotentes se definen por $$ A^2 = A \tag{1} $$ para una matriz cuadrada $A$ . Obviamente, la matriz identidad $I$ es una matriz idempotente. También se puede demostrar que si $M$ es idempotente, entonces $I - M$ es idempotente por un cálculo trivial. $$ (I - M) (I - M) = I - M - M + M^2 = I - M - M + M = I - M $$

De forma similar, podemos definir una matriz antiidempotente $A$ por la condición $$ A^2 = - A \tag{2} $$

(Un ejemplo trivial es la matriz cero).

Para encontrar ejemplos no triviales de una matriz antiidempotente $A$ Consideré el caso de $(2 \times 2)$ matrices: $$ A = \left[ \matrix{ a & b \cr c & d \cr} \right] $$

Si $A$ es antiidempotente, entonces debe satisfacer: $A^2 = -A$ .

Esto conduce a un conjunto de $4$ ecuaciones: $$ a^2 + b c = - a, \ a b + b d = - b, \ c a + c d = -c, \ \ b c + d^2 = -d $$

Una simple manipulación da como resultado las ecuaciones $$ b (a + d + 1) = 0, c (a + d + 1) = 0, a^2 + b c = -a, b c + d^2 = -d. $$

En $a = 2$ vemos que $a + d + 1 = 0$ o $d = -3$ .

Podemos elegir $b$ y $c$ de $b c = -6$ . Una opción es $b = 2, c = -3$ .

Por tanto, una matriz antiidempotente es: $$ A = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -3 & -3 \\ \end{array} \right] $$

(Es fácil comprobar que $A^2 = -A$ .)

Se puede demostrar fácilmente : Si $M$ es una matriz antiidempotente, entonces $I + M$ también es antiidempotente. En efecto, $$ (I + M) (I + M) = I + M + M + M^2 = I + M + M - M = I + M. $$

Los ejemplos que he considerado para matrices antiidempotentes dan matrices singulares.

Me gustaría saber si en general es cierto que las matrices antiidempotentes son matrices singulares. ¿Cómo establecer este resultado? Sus comentarios son bienvenidos.

Answer 1

No son más que matrices que satisfacen $p(A) = 0$ donde $p(z) = z^2 + z$ . Tenga en cuenta que $p$ es libre de cuadrados y, por tanto, cualquier $A$ es diagonalizable. Los valores propios de $A$ se limitan a las raíces de $p$ compuesto por $0$ o $-1$ y nada más.

Así pues, las matrices antiidempotentes invertibles son diagonalizables y sólo tienen $-1$ como valor propio. No es difícil ver que $-I$ es la única posibilidad. Cualquier otra matriz antiidempotente no será invertible.

Otra cosa a tener en cuenta: $A$ es antiidempotente si y sólo si $-A$ ¡es idempotente!

Answer 2

Dado que las matrices antiidempotentes $A$ de cualquier tamaño $n\ge2$ verifique $A^2+A=0$ entonces su polinomio mínimo viene dado por $p(x)=x^2+x=x(x+1)$ lo que significa que sus únicos valores propios pueden ser 0 o -1. Dado que el polinomio mínimo es $p(x)$ esto significa que las matrices también son diagonalizables.

Por lo tanto, una matriz $A$ es antiidempotente si y sólo si $A$ es diagonalizable y sus valores propios son 0 y/o 1.

Answer 3

$det(A)^2=det(A^2)= (-1)^n det(A)$

para que

$det(A)(det(A)+(-1)^{n+1})=0$

Por lo tanto $det(A)$ es cero o $det(A)=(-1)^n$

Sin embargo $A^2=-A$ significa que $-1$ es un valor propio de $A$ si $A$ no es la matriz cero.

Además, si $A$ es no singular, entonces la dimensión de la imagen de $A$ debe ser igual a $n$ . Sin embargo, la imagen de $A$ está contenido (en realidad es exactamente igual) en el eigespacio de $A$ del valor propio $-1$ de modo que la multiplicidad geométrica del valor propio $-1$ es exactamente $n$ .

(Otra forma es simplemente multiplicar $A^2=-A$ por $A^{-1}$ para llegar directamente $A=-I$ )

Así $A$ es diagonalizable y $A=B(-I)B^{-1}=-I$

Esto significa que si $A$ es una matriz idempotente no singular, entonces $A$ es igual a $-I$ .

Consideremos ahora el caso general, $A$ podría ser singular. Entonces por el teorema del rango nulo

$V=ker(A)\oplus Im(A) $

Pero aquí $Im(A)=V_{-1}$ y en general $ker(A)=V_{0}$ donde $V_\lambda$ es el eigespacio de $A$ del valor propio $\lambda$ . Así

$V=V_{0} \oplus V_{-1}$

Es decir $A$ es diagonalizable con valores propios $0$ y $-1$ y

$A=B\begin{pmatrix}-I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} B^{-1}$

Así $A$ es una matriz antiidempotente si y sólo si $A=B\begin{pmatrix} -I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}B^{-1}$ , $0\leq r\leq n$

Observe que puede utilizar el mismo argumento para demostrar que si $A^2=A$ entonces $A=B\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}B^{-1}$ (o considere simplemente la matriz antiidempotente $-A$ )