$3\times3$ cuadrícula rellenada aleatoriamente; probabilidad de un $2\times2$ cuadrícula rellenada con un elemento

Question

Tengo un $3 \times 3$ rejilla. Para cada una de las $9$ espacios en su interior, lo relleno aleatoriamente con $A$ o $B$ ( $\frac{1}{2}$ posibilidad de cualquiera de los dos elementos). Cada espacio se rellena de forma independiente.

• ¿Cuál es la probabilidad de que en un $2\times2$ dentro de la $3 \times 3$ rejilla, se llena sólo con $A$ ?
• Sé que hay $4$ posible $2\times2$ rejillas dentro del $3 \times 3$ rejilla. ¿Algún consejo sobre qué hacer a partir de aquí?

Answer 1

En $95$ que ha encontrado es correcta, por su uso de inclusión-exclusión con $128−40+8−1$ y hay que dividirlo por el $2^9=512$ posibilidades igualmente probables para obtener la probabilidad

Hacer inclusión-exclusión como probabilidades ( $4$ esquinas, menos $4$ lados y $2$ diagonales, más $4$ tres esquinas, menos $1$ cuadrado entero) habría dado $$\frac4{2^4}-\frac4{2^6}-\frac2{2^7}+\frac4{2^8}-\frac1{2^9} = \frac{95}{512}$$

O contando habría dado

• $68=4 \times 17$ con una sola $2\times2$ cuadrado $A$ s
• $20 = 4 \times 5$ con dos $2\times2$ cuadrados $A$ s adyacentes
• $2 = 2 \times 1$ con dos $2\times2$ cuadrados $A$ s diagonal
• $4 = 4 \times 1$ con tres $2\times2$ cuadrados $A$ s
• $1 $ con los cuatro $2\times2$ cuadrados $A$ s, de hecho todos $A$

sumando $95$ de nuevo