¿Puede la derivada de $|x-t|$ ¿se puede hacer de dos maneras diferentes?

Question

Puede la derivada(con respecto a x) de $|x-t|$ sea $\frac{x-t}{|x-t|}$ o $\frac{|x-t|}{x-t}$ gracias

Answer 1

Sí, son iguales para $x\ne t.$

Para ver esto considere por $y\ne 0$ la función $$\frac {y}{|y|}.$$ Multiplicando arriba y abajo por $|y|,$ vemos que $$\frac {y}{|y|}=\frac{y}{|y|}\frac{|y|}{|y|}=\frac{y|y|}{y^2}=\frac{|y|}{y}.$$