Paradoja de Mirimanoff

Question

La clase $B$ es bien fundado si cada cadena descendente de subclases es finita. La clase $B$ es sin fundamento si existe una cadena infinita de clases $B_n $ tal que $ \quad \dots \in B_n \in \dots \in B_2 \in B_1 \in B. $

Paradoja: La colección $\mathbf{WF}$ de conjuntos bien fundados (en un conjunto dado de átomos) no es a su vez un conjunto.

Permítanme tratar de elaborar la formulación de la paradoja. Sea $\mathbf{WF}$ sea el conjunto de conjuntos bien fundados; entonces $\mathbf{WF}$ tiene fundamento, ya que si $\mathbf{WF} \ni x_0 \ni x_1 \ni x_2 \ni\dots\, $ entonces $x_0$ sería un miembro no fundado de $\mathbf{WF}$ lo cual es absurdo. Por lo tanto $\mathbf{WF} \in \mathbf{WF}$ Así que $\mathbf{WF}$ no está bien fundamentada, es decir, es contradictoria.

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¿Esta paradoja sólo se da en la teoría ingenua de conjuntos? Si la respuesta es negativa, ¿cómo se resuelve?

Creo que esta paradoja es similar a la antinomia Burali-Forti, pero sinceramente no entiendo (la resolución de) esta última también.

Answer 1

Las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos son ejemplos de contradicciones evidentes en el planteamiento ingenuo de que "todo es un conjunto", tal y como se formaliza en los axiomas de comprensión.

En efecto, si $\bf WF$ es un conjunto entonces está bien fundado, entonces $\bf WF\in WF$ lo que es una contradicción con el fundamento.

La resolución de esta paradoja, y de otras paradojas (como la de Burali-Forti que has mencionado), es que no toda "propiedad" define un conjunto.

Algunas teorías de conjuntos modernas (p. ej. $\sf ZFC$ ) lo resuelven exigiendo que las propiedades establezcan subconjuntos de conjuntos previamente construidos; otras teorías de conjuntos (p. ej. $\sf NF$ ) lo resuelven exigiendo que las propias fórmulas tengan ciertas propiedades sintácticas que les impidan definir estas clases.

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Y cuando todo esto se haya dicho y hecho, me gustaría señalar que el axioma de elección es necesario para la prueba de que la fundamentación es equivalente a la ausencia de cadenas decrecientes infinitas. La formulación correcta debería ser que todo conjunto no vacío tiene un $\in$ -elemento mínimo (es decir, si $x$ no está vacío, entonces para algún $y\in x$ , $x\cap y=\varnothing$ ).

Por otro lado, si se demuestra (sin apelar a la elección) que si $x$ es un conjunto bien fundado, entonces $\{x\}$ es un conjunto bien fundado, y que para cada $x\in\bf WF$ satisface $x\notin x$ de lo que se deduce que $\bf WF\notin WF$ .