¿Por qué es la relación entre el número de términos necesarios para alcanzar valores sucesivos en la serie armónica aproximadamente $e$?

Question

Considerar la serie armónica: $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} + \cdots .$$

Se tarda $1$ plazo para lograr una suma parcial de $1$, ya que el $1$ es el primer número.

Se tarda $4$ términos de lograr una suma parcial de $2$: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} = 2.08\bar{3}$ es el primer parcial de la suma de valor de al menos $2$.

Para llegar a $3$ tarda $11$ términos. Para llegar a $4$ tarda $31$ términos. Para llegar a $5$ tarda $83$ términos.

Si tenemos en cuenta que esta ecuación: $x_n = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ y reemplace $x$ con cualquier número natural, entonces: ${(x+1)}_{n*e}$

Yo no podría ser la redacción de este correctamente, pero quiero saber si y cómo se puede demostrar matemáticamente por qué $e$ aparece para mostrar en la relación de los números de los términos necesarios para las sumas parciales que tomar en sucesivos valores enteros.

Más ejemplos

La primera suma parcial de la serie armónica de más de $15$ es

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{1835421} > 15$$

El primer parcial suma mayor que 16 es

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{4989191} > 16$$

Tenga en cuenta que $\frac{4989191}{1835421}$ es una aproximación de $e$.

He calculado los primeros cinco de los cocientes de las iteraciones necesarias para alcanzar las sumas parciales de los números enteros:

$\frac{4}{1}$

$\frac{11}{4}$

$\frac{31}{11}$

$\frac{83}{31}$

$\frac{227}{83}$

Answer 1

El $n$ésimo número armónico $$H_n := 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$$ satisface $$H_n = \log n + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12 n^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right),$$ donde $$\gamma = 0.5772156649\ldots$$ es el de Euler-Mascheroni constante (por un poco más acerca de esta aproximación asintótica, ver este inciso de ese artículo). Incluso razonablemente pequeño$n$, $\log n$ término domina los términos en potencias negativas de $n$. Esos términos son por lo tanto insignificante para nuestros propósitos, y hemos $$H_n \approx \log n + \gamma.$$ Así, la reorganización da que el número de $n_N$ de términos de la serie armónica necesaria para lograr una suma $H_n \geq N$ es $$n_N \approx \exp(N - \gamma).$$

Las estimaciones de esta expresión proporciona para los valores de $N$ mencionado en la pregunta (redondeo de los valores de la última columna más cercana a la $10^{-3}$): \begin{array}{ccc} N & n_N & \exp(N - \gamma)\\ \hline 2 & 4 & 4.148 \\ 3 & 11 & 11.277 \\ 4 & 31 & 30.655 \\ 5 & 83 & 83.327 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 15 & 1835421 & 1835420.815 \\ 16 & 4989191 & 4989191.048\\ \end{array} Como podemos ver, esta estimación produce buenos valores, incluso para valores muy pequeños de $N$. (Ya para $N = 2$, tenemos $n_N = 4$ términos, y el dominante término de corrección de aquí sólo contribuye $\frac{1}{2(4)} = \frac{1}{8}$.) No es difícil escribir muy bien los límites en el error de esta estimación (y, por tanto, justificar desecha el resto de los términos en la anterior expansión), pero no sé de improviso lo que son.

Por lo tanto, incluso razonablemente pequeño $N$, la proporción del número de $n_{N + 1}$ de términos de la serie armónica necesaria para lograr una suma $N + 1$ $n_N$ de las condiciones necesarias para una suma $N$ es $$\frac{n_{N + 1}}{n_N} \approx \frac{\exp((N + 1) - \gamma)}{\exp(N - \gamma)} = \exp(1) = e,$$ como se reivindica. Deben ser fáciles de utilizar las estimaciones de error mencionados anteriormente para demostrar que el límite de este cociente como $N \to \infty$ es, de hecho, $e$ como se reivindica.

Nota por la forma en que el argumento anterior no usar ese $N$ es un número entero, y así podemos también utilizar nuestra estimación para no entera $N$. Por ejemplo, para $N = 2 \pi$ necesitamos $301$ términos, y la fórmula se obtiene la estimación de $\exp(2 \pi - \gamma) = 300.656\ldots .$

Answer 2

Vamos a $$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{x_{n}-1}\lt n$$ and $$1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{x_n}\gt n.$$ If for some $N$, $$\frac{1}{x_n+1}+\cdots+\frac{1}{N}\ge 1,$$ then $x_{n+1}\le N$ and if for some $M$, $$\frac{1}{x_n+1}+\cdots+\frac{1}{M}\lt 1-\frac{1}{x_n},$$ then $x_{n+1}\gt M $. Now it is easy to see that if $ $ \int_{x_n+1}^{N+1}\frac{1}{x}dx\ge1\Rightarrow N\ge-1 + e(x_n+1) =ex_n+e-1,$$then $\frac {1} {x_n + 1} + \cdots + \frac {1} {N} \ge 1$, so $$x_{n+1}\le ex_n+e,$$ and if $$\int_{x_n}^{M}\frac{1}{x}dx\lt1-\frac{1}{x_n}\Rightarrow M\lt e^{1-\frac{1}{x_n}}x_n,$$then $\frac{1}{x_n+1}+\cdots+\frac{1}{M}\lt 1-\frac{1}{x_n},$so $$x_{n+1}\ge e^{1-\frac{1}{x_n}}x_n -1.$$ These bounds show that, indeed, $$\frac{x_{n+1}}{x_n}\rightarrow e.$$