Topos (topoi) como topos clasificadores de groupoides

Question

Un famoso teorema de Joyal y Tierney dice que cada topos de Grothendieck es equivalente al topos clasificador de un grupoide local. Creo que Butz y Moerdijk han demostrado que si el topos tiene suficientes puntos entonces se puede utilizar un groupoide topológico.

No soy un teórico de las categorías y me cuesta seguir la prueba del Elefante de Johnstone. Me preguntaba si alguien puede explicar lo que está pasando para el caso específico de presheaves en un monoide. Se trata de un tipo muy especial de topos con suficientes puntos, por lo que espero que alguien pueda describir explícitamente un groupoide.

Si el monoide es cancelativo, el topos es un etendue y sé cómo obtener un grupoide etale mediante la teoría de semigrupos inversos, así que me interesa el caso no cancelativo.

Motivación: Estudio los monoides y por eso es interesante tratar de entender cómo se puede asociar una clase Morita de groupoides a un monoide.

Answer 1

Ben, no me cabe una descripción de la exhaustividad etale en los comentarios, así que tendré que hacerlo aquí:

La forma más sencilla de decir que un groupoide $G$ es etale completo es que el pullback (en la 2-categoría de topoi) del morfismo geométrico canónico $p:Sh(G_0) \to BG$ contra sí mismo equivale a $Sh(G_1).$

Esto equivale a lo siguiente:

Dado $x,y$ puntos de $G_0$ consideremos los morfismos geométricos asociados $\hat x:Set \to Sh(G_0),$ $\hat y:Set \to Sh(G_0).$ Entonces $G$ es etale completa si y sólo si los isomorfismos naturales $$\alpha:\hat x^* \circ p^* \Rightarrow \hat y^* \circ p^*$$ están en biyección con las flechas $g:x \to y$ en $G_1$ .

Answer 2

Quizás estas diapositivas será útil. Voy a tratar de explicar lo que sucede en su caso especial.

Sea $M$ sea un monoide y sea $\mathcal{B} M$ sea el topos de la derecha $M$ -sets. Los puntos de $\mathcal{B} M$ son los izquierda $M$ -sets $P$ que cumplan las siguientes condiciones:

• $P$ está habitada.
• Elementos dados $p_0$ y $p_1$ de $P$ existe un elemento $p$ de $P$ y elementos $m_0$ y $m_1$ de $M$ tal que $m_0 \cdot p = p_0$ y $m_1 \cdot p = p_1$ .
• Dado un elemento $p$ de $P$ y elementos $m_0$ y $m_1$ de $M$ tal que $m_0 \cdot p = m_1 \cdot p$ existe un elemento $p'$ de $P$ y un elemento $m'$ de $M$ tal que $m' \cdot p' = p$ y $m_0 m' = m_1 m'$ .

Por ejemplo, la acción regular izquierda de $M$ en sí mismo es un punto de $\mathcal{B} M$ y resulta que este punto cubre todos los $\mathcal{B} M$ . Sin embargo, lo que necesitamos encontrar es un abra portada de $\mathcal{B} M$ . La construcción Butz-Moerdijk produce tal cosa.

Sea $K$ sea un conjunto fijo de cardinalidad $\ge \left| M \right|$ . Un enumeración de $M$ es una suryección parcial $K \rightharpoonup M$ con infinitas fibras. Un isomorfismo de enumeraciones de $M$ es un isomorfismo de izquierda $M$ -que hacen que el siguiente diagrama sea conmutable: $$\require{AMScd} \begin{CD} K @= K \\ @VVV @VVV \\ M @>>> M \end{CD}$$ Elija un representante en cada clase de isomorfismo de las enumeraciones de $M$ . Definimos un groupoide $\mathbb{G}$ como sigue:

• Los objetos son los representantes elegidos.
• Los morfismos $\alpha \to \beta$ son tuplas $(\alpha, \beta, m)$ donde $m$ es un invertible elemento de $M$ . (Nosotros pas requieren aquí ninguna compatibilidad con las suryecciones parciales).
• La composición viene dada por $(\beta, \gamma, m) \circ (\alpha, \beta, n) = (\alpha, \gamma, m n)$ .

Escriba a $G_0$ (resp. $G_1$ ) para el conjunto de objetos (resp. morfismos) en $\mathbb{G}$ . Hay una topología de Galois en estas haciendo $\mathbb{G}$ un groupoide topológico:

• Los subconjuntos abiertos básicos de $G_0$ son los subconjuntos $$U_{\vec{i}, C} = \{ \alpha \in G_0 : \alpha (\vec{i}) \in C \}$$ donde $\vec{i}$ es un $n$ -tupla de elementos de $K$ y $C$ es un derecha $M$ -subconjunto de $M^n$ .
• Los subconjuntos abiertos básicos de $G_1$ son los subconjuntos $$W_{\vec{i}, C, \vec{j}, D} = \{ (\alpha, \beta, m) \in G_1 : \alpha (\vec{i}) \in C, \beta (\vec{j}) \in D, \alpha (\vec{i}) \cdot m = \beta (\vec{j}) \}$$ donde $\vec{i}$ y $\vec{j}$ son $n$ -tuplas de elementos de $K$ y $C$ y $D$ son derecha $M$ -subconjuntos de $M^n$ .

El teorema de Butz y Moerdijk es que $\mathcal{B} M$ es equivalente al topos de láminas equivariantes en este grupoide topológico $\mathbb{G}$ . Obsérvese que los mapas de dominio y codominio $G_1 \to G_0$ son localmente conectadas, por lo tanto abiertas a fortiori .