Cohomología de Etale con coeficientes en los números enteros

Question

He aquí una pregunta básica. ¿Cuándo $H^1_{et}(X,\mathbb{Z})$ ¿Desaparecer? Usando la secuencia exacta de las constantes etale sheaves $0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\rightarrow 0$ basta con demostrar que $H^1_{et}(X,\mathbb{Q})$ desaparece. Se sabe, por ejemplo por 2.1 del documento JPAA de Deninger de 1988, que $H^1_{et}(X,\mathbb{Q})$ desaparece cuando $X$ es normal.

Nota: hay dos argumentos que considero incorrectos que pretenden demostrar $H^1_{et}(X,\mathbb{Z})$ siempre desaparece. La primera es que $\mathbb{Z}$ es flasque en la topología etale. Esto es falso. Por ejemplo, sobre el campo de funciones $\mathbb{C}(x,y)$ la secuencia exacta larga en cohomología para $0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}/n\rightarrow 0$ muestra que $H^2(\mathbb{C}(x,y),\mathbb{Z})$ es distinto de cero. Entonces, $\mathbb{Z}$ no se puede flasquear. El segundo argumento es que $H^1_{et}(X,\mathbb{Z})=Hom_{cont}(\pi_1^{et}(X),\mathbb{Z})$ donde $\pi_1^{et}(X)$ es el grupo fundamental etale de $X$ que es un grupo profinito. Como es profinito, el $Hom$ grupo anterior desaparece. Pero, la pretendida igualdad entre $H^1_{et}(X,-)$ y $Hom_{cont}(\pi_1^{et}(X),-)$ sólo es válida para las poleas de torsión, por lo que he podido determinar.

De hecho, me interesan varias cosas. En primer lugar, o bien un ejemplo de $X$ tal que $H^1_{et}(X,\mathbb{Z})$ es distinto de cero, o una prueba de que siempre desaparece. En segundo lugar, lo mismo pero donde sólo nos fijamos en afín $X$ . En particular, si existe, me encantaría ver un ejemplo de un anillo conmutativo $R$ donde $H^1_{et}(Spec R,\mathbb{Z})$ es distinto de cero, si esto es posible.

Answer 1

El ejemplo estándar es una copia de $\mathbb A^1_k$ donde $k$ es un campo algebraicamente cerrado, con dos puntos pegados. En términos algebraicos, $X = \mathop{\rm Spec}R$ donde $R := k[x,y]/(y^2 - x^3 + x^2)$ . Consideremos el morfismo finito $\pi\colon \mathbb A^1 \to X$ lo que da una secuencia exacta $$ 0 \to \mathbb Z_X \to \pi_*\mathbb Z_{\mathbb A^1} \to i_*\mathbb Z_p \to 0, $$ donde $p$ es el punto singular de $X$ . Puesto que ambos $\pi_*\mathbb Z_{\mathbb A^1}$ y $i_*\mathbb Z_p$ tienen cohomología étale trivial , tomando secciones globales vemos que $\mathrm H^1(X, \mathbb Z) = \mathbb Z$ .

Answer 2

En términos más generales, si $X$ es propio sobre un campo algebraicamente cerrado, entonces $H^1(X,\mathbb Z)$ es isomorfo al módulo de cocaracteres del toro maximal de la variedad de Picard $Hom(\mathbb G_m,Pic^0)$ .