Quiero demostrar que si $\sigma$ es un bucle basado en un punto $p \in X$ donde $X$ es un espacio topológico, entonces el homomorfismo $\Phi _\sigma: \Pi_1(X,p) \rightarrow \Pi_1(X,p)$ es un automorfismo interno.
El homomorfismo general entre los grupos fundamentales que he estado utilizando es $\Phi _\gamma: \Pi_1(X,p) \rightarrow \Pi_1(X,q)$ donde $\Phi_\gamma$ asigna la clase de equivalencia $[\alpha] \in \Pi_1(X,p) \mapsto [\gamma^{-1}\alpha\gamma]$ .
Así, $\Phi_\sigma$ mapearía $[\alpha] \mapsto [\sigma^{-1}\alpha\sigma]$ . Sin embargo, para demostrar que $\Phi_\sigma$ es un automorfismo interno, sé que necesito demostrar que el homomorfismo realmente mapea $[\alpha] \mapsto [\sigma][\alpha][\sigma]^{-1}$ además de satisfacer las demás propiedades de los automorfismos.
Sé instintivamente que puedo separar la clase de equivalencia $[\sigma \alpha \sigma ^{-1}]$ porque $[\sigma] \in \Pi_1(X,p)$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrarlo con rigor.
Agradecería cualquier orientación al respecto.
Edición: Gracias Nishant por ayudarme a darme cuenta de que las clases de equivalencia se pueden separar. Eso era realmente bastante obvio. Me di cuenta, sin embargo, que escribí mi homomorfismo original incorrectamente. Ahora ha sido corregido.
Como resultado, ahora tengo que averiguar cómo conseguir $ [\sigma^{-1}\alpha\sigma] $ a $[\sigma][\alpha][\sigma]^{-1}$ . ¿Es porque $[\sigma^{-1}]=[\sigma]$ ? En caso afirmativo, ¿cómo podría demostrarlo? De lo contrario, ¿estoy completamente equivocado en mi planteamiento?
