Estrechez de las distribuciones de probabilidad

Question

Sea $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ sea el conjunto de todas las funciones de masa de probabilidad sobre $\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$ . Sea $E$ sea un subconjunto cerrado (con respecto a la convergencia puntual, o equivalentemente la métrica de variación total) de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $Q\notin E$ . Sea $0<\beta<1$ . Ahora $\displaystyle \sum_{x\in N} P(x)^{\beta}Q(x)^{1-\beta}\le 1$ para cualquier $P$ y $Q$ por la desigualdad de Holder. Supongamos que $0< s:=\displaystyle \sup_{P\in E}\sum P(x)^{\beta}Q(x)^{1-\beta}$ .

Sea $\{P_n\}$ sea una secuencia en $E$ tal que $\sum P_n(x)^{\beta}Q(x)^{1-\beta}\to s$

Ahora mi objetivo es examinar si $\{P_n\}$ tienen una subsecuencia convergente que converge a una distribución de probabilidad verdadera. Por el argumento de la diagonal siempre puedo extraer una subsecuencia convergente, pero el límite no tiene por qué ser una distribución de probabilidad; podría ser una distribución de probabilidad defectuosa. Pero en este problema, ¿se puede argumentar de alguna manera que podemos extraer una subsecuencia convergente que converja a una distribución de probabilidad?

También estoy pensando en mostrar que $P_n$ son ajustados, porque en los ejemplos que tengo, la masa no puede escapar al infinito. Espero que, si demostramos la estanqueidad, podamos extraer una subsecuencia convergente que converja a una distribución de probabilidad verdadera.

Answer 1

Creo que esta conjetura es falsa, es decir, no existe necesariamente una subsecuencia que converja a una distribución de probabilidad verdadera. Consideremos la siguiente situación:

Sea $Q=(1,0,0,0,...)$ es decir, la distribución de probabilidad con toda la masa en $x=1$ .

Definir la distribución $R_n$ para $n=2,3,...$ como $$R_n(1)=\frac{1}{2} - \frac{1}{n}$$ $$R_n(n)=\frac{1}{2} + \frac{1}{n}$$ y $R_n(x)=0$ para todos los demás valores.

Sea $E$ sea el conjunto de todos los $R_n$ para $n\geq 2$ . Tenga en cuenta que $E$ es cerrado (porque cualquier distribución que no esté en $E$ puede separarse de ella por una distancia suficientemente pequeña $\epsilon$ pelota) y que $s=(1/2)^\beta>0$ .

A continuación, argumentamos que cualquier distribución convergente $P_n$ contenida en $E$ puede verse como una subsecuencia del $R_n$ . Para cualquier $R_n$ , $$\sum_{x=1}^\infty R_n^\beta (x) Q^{1-\beta}(x)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)^\beta$$ En $n$ aumenta, este valor aumenta monotónicamente hasta $s$ . Por lo tanto, si tenemos cualquier conjunto de puntos $P_n$ en $E$ tal que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \sum P_n^\beta (x) Q^{1-\beta}(x) =s$$ entonces $P_n$ tiene una subsecuencia convergente que es una subsecuencia del $R_n$ .

Por último, si consideramos cualquier subsecuencia de $R_n$ no converge a una distribución de probabilidad, ya que la mitad de su probabilidad se desvanece hacia el infinito. (Una demostración formal es sencilla).

Answer 2

Del contraejemplo de Bill parece que algunas restricciones adicionales sobre $E$ son necesarios para conseguir lo que se desea. exigiendo que $E$ sería ciertamente suficiente, pero puede ser una suposición innecesariamente restrictiva.

por ejemplo, que $E$ sea la familia [paramétrica] de distribuciones poisson. [Entonces cambiamos el soporte de las medidas a $N := \{0,1,\cdots\}$ ]. let $\cal P$ denotan el conjunto de medidas de probabilidad sobre $N$ .

para cualquier $Q$ está bastante claro que a medida que el parámetro de Poisson $\lambda\to\infty$ ,

$$I_\beta(Poi_\lambda,Q) := \sum_{x\in{N}} Poi_\lambda(x)^\beta Q(x)^{1-\beta}\to 0.$$

por lo que al obtener $s$ podemos restringir la atención a algún intervalo acotado $[0,L]$ para $\lambda$ . entonces, como $I_\beta(Poi_\lambda,Q)$ es continua en $\lambda$ su máximo se alcanza en $[0,L]$ .

en este ejemplo, $E$ no es ajustado, aunque sus únicos puntos límite puntuales fuera de sí mismo son $\delta_0$ la medida que pone la probabilidad 1 a 0, y la medida cero $\delta_\infty = (0,0,\cdots)$ . [ $\delta_0$ debe incluirse si se desea $\lambda > 0$ a priori .] aquí, el único defectuoso punto límite es $\delta_\infty$ .

además: si bien es cierto [como afirma el PO] que la convergencia puntual [la topología del producto para $\ell_1$ ] y "variación total" [o $\ell_1$ -norm] son equivalentes para $\cal P$ no son lo mismo para $\ell_1$ . en el ejemplo poisson, $\delta_\infty$ es un punto límite puntual pero no un punto límite fuerte de $E$ . [así $E$ es fuertemente cerrado en este caso. creo que esto estaba implicado en mi comentario anterior (algo apresuradamente concebido)].

también en el ejemplo de bill, $R_\infty$ es también un punto límite puntual pero no fuerte de $E= \{R_n: n\ge 2\}$ .

estos ejemplos sugieren que cuando $s>0$ , opresión por $E$ puede debilitarse hasta su cierre puntual teniendo como máximo una distribución defectuosa: $\delta_\infty$ . [parece casi obvio entonces que si $I_\beta(P_n, Q) \uparrow s>0$ como $n\to\infty$ que cualquier subsecuencia convergente de $\{P_n\}$ debe tender a un límite en $\cal P$ . una forma más elegante de decirlo es que $I_\beta: P \to I_\beta(P,Q)$ es continua para el $\ell_\infty$ -topología débil en $\cal P$ que en este caso no es más que convergencia puntual con otro nombre].

un interesante $E$ que cumple esta condición es el conjunto de todas las distribuciones binomiales en $N$ donde ambos $n$ y $p$ son parámetros. Aquí $E$ tiene muchos puntos límite puntuales que no contiene [como las distribuciones poisson], pero sólo un punto límite puntual defectuoso: $\delta_\infty$ .