Conmutantes relativos de álgebras abelianas de von Neumann

Question

Esta pregunta surgió del debate sobre la pregunta Centralizadores en $C^*$ -algebras .

¿Qué álgebras von Neumann $N$ satisfacen la propiedad de que $A' \cap N = B' \cap N \implies A = B$ para todas las subálgebras conmutativas de von Neumann $A, B \subset N$ ?

Tenga en cuenta que $N = \mathcal B(\mathcal H)$ tiene esta propiedad por el teorema del doble conmutante de von Neumann, y quizás esta propiedad caracterice a $\mathcal B(\mathcal H)$ . Es evidente que $N$ debe ser un factor teniendo en cuenta $A = \mathbb C$ y $B = \mathcal Z(N)$ . Si $\mathbb F_2 = \langle a, b \rangle$ es el grupo libre sobre dos generadores, entonces considerando la expansión de Fourier de los elementos en $L\mathbb F_2$ no es difícil ver que para $A = L\langle a \rangle$ y $B = L\langle a^2 \rangle$ tenemos $A' \cap L\mathbb F_2 = B' \cap L\mathbb F_2$ así $L\mathbb F_2$ no tiene esta propiedad.

Obsérvese también que si consideráramos el caso en que $A$ y $B$ pueden ser no conmutativos, entonces es relevante el Corolario 4.1 del artículo de Popa Sobre un problema de R.V. Kadison sobre los abelianos máximos $*$ -Subálgebras en factores que muestra que cada tipo $II$ factor $N$ contiene un subfactor hiperfinito $R$ tal que $R' \cap N = \mathbb C$ .

Answer 1

Hace poco me enteré de que ( ver aquí ) Popa demostró que todo II separable $_1$ factor $M$ contiene (una incrustación de) el álgebra hiperfinita de von Neumann $R$ tal que $L^2M\ominus L^2R\cong _RL^2(R\overline{\otimes}R^{op})^{\oplus \infty}_R$ .

Es un hecho habitual que esto implica $A'\cap M\subseteq R$ para cada subálgebra difusa $A\subseteq R$ .

Entonces, como en $R$ existen subálgebras abelianas difusas de von Neumann $A\neq B$ tal que $A'\cap R=B'\cap R$ . Por lo tanto, por el resultado anterior, también tenemos $A'\cap M=B'\cap M$ .

Por ejemplo, escriba $R=L(\mathbb{Z}\wr \mathbb{Z})=L(\langle t\rangle \wr \langle s\rangle)$ , $A=L(\langle s\rangle)$ y $B=L(\langle s^2\rangle)$ . O escriba $R=L((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})G)\rtimes G$ , $A=L((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})G)$ y $B=L(\{x\in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})G: x_{e_G}=\bar{0}\})$ .

En ambos ejemplos, tenemos que $A'\cap R=B'\cap R=A\neq B$ .

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Algunos comentarios:

(1) Siguiendo a Kadison papel una subálgebra de von Neumann $A\subseteq M$ se denomina normal si $(A'\cap M)'\cap M=A$ . Existen varios documentos antiguos (véase, por ejemplo Documento de Anastasio ) dando ejemplos concretos del caso más extremo de subálgebras abelianas no normales, es decir, subálgebras gruesas siguiendo el libro de Bures aquí . Recuperar $A\subseteq M$ es gruesa si $A'\cap M$ es una masa en $M$ ; se pueden encontrar caracterizaciones equivalentes en el Lemma 10.1 de este libro.

(2) Si $A$ es abeliano, entonces como $(A'\cap M)'\cap M=\cap_BB$ donde $B$ es una masa en $M$ que contiene $A$ sabemos que la pregunta anterior es lo mismo que preguntar si existe una subálgebra abeliana de von Neumann $A\subset M$ tal que $A$ no es normal, por ejemplo $A\neq A'\cap M$ y $A$ es gruesa.

(3) Que $B\subseteq M$ ser una masa. Entonces toda subálgebra propia difusa de von Neumann de $B$ NO es normal si $B$ cumple la propiedad de disjunción, es decir, si $C\subset M$ es una masa con $B\cap C$ siendo difusa, entonces $B=C$ .

(4) El resultado de Popa implica todo II separable $_1$ factor $M$ contiene una masa de mezcla, ya que podemos considerar que es una masa de mezcla en $R$ donde $R\hookrightarrow M$ es la inclusión de mezcla anterior. Dentro de una masa de mezcla, toda subálgebra propia (difusa) de von Neumann es gruesa. No parece claro si siempre se pueden encontrar subálgebras gruesas propias dentro de cada masa singular, equivalentemente débilmente mezcladora, en una II $_1$ factor.