¿Cambia el género del espaciotiempo un agujero negro cargado o en rotación?

Question

Para un agujero negro de Reissner-Nordström o de Kerr existe una continuación analítica a través del horizonte de sucesos y de vuelta al exterior. Suponiendo que esto tenga sentido desde el punto de vista físico (¡varios miembros de este sitio piensan que no!), ¿cambia esto el género del espaciotiempo?

En la analogía de la hoja de goma 2D, un bucle dibujado alrededor del horizonte de sucesos no sería contraíble porque atravesaría el horizonte de sucesos y volvería a salir y seguiría teniendo el agujero negro en su centro. No sé si el mismo argumento se aplica al espaciotiempo en 4D.

Answer 1

Mucho más sencilla que la respuesta de Chay Peterson, una mirada a la diagramas conformados para los dos espaciotiempos en cuestión:

Espaciotiempo de Schwarzschild

Espaciotiempo de Kerr-Newman (no extremo)

Debería ser evidente que la estructura topológica global de estos dos espaciotiempos es radicalmente diferente. Además, el espaciotiempo de Schwarzschild tiene una singularidad puntual, mientras que el espaciotiempo de Kerr tiene una singularidad anular. Dado que las singularidades no pueden incluirse en el propio espaciotiempo, estos espaciostiempos tendrán grupos fundamentales diferentes (una curva cerrada que atraviese la singularidad anular no será suavemente deformable hasta un punto) y, por tanto, serán topológicamente diferentes.

Answer 2

Reformulando un poco la pregunta, estás preguntando por uno de los números de Betti del colector (3+1)-dimensional correspondiente a una de las soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein que corresponde a un agujero negro cargado o en rotación.

Los números de Betti de una variedad son invariantes topológicos que representan intuitivamente el número de "asas" d-dimensionales no contratables en esa variedad (o formalmente, el número de generadores del grupo de homología d-ésimo), y para una variedad dimensional D hay D+1 números de Betti distintos de cero, $B_0,B_1, ... ,B_D$ . El cero a la , $B_0$ corresponde al número de componentes conectados, $B_1$ el número de asas unidimensionales, etc.

Por ejemplo, los números de Betti de un toro simple $\mathbb{T}^2$ son: $B_0=1$ , $B_1=2$ y $B_2=1$ y para una esfera $\mathbb{S}^2$ son $B_0=1$ , $B_1=0$ y $B_2=1$ . Estos invariantes se pueden relacionar directamente con otros más sencillos, como la característica de Euler. $\chi$ y el género $g$ y podemos ver que para variedades bidimensionales cerradas sin límites como la anterior, $g$ está relacionado con el primer número de Betti:

$B_1 = 2g$

Para superficies en las que $B_1$ no es un número par, es decir, para superficies abiertas o no orientables, esta definición se rompe, y hablamos en su lugar de un género no orientable $k=B_1$ . Para variedades de mayor dimensión podemos tomar $k=B_{D-1}$ .

Así que volviendo a tu pregunta, queremos saber cuáles son los números de Betti del espaciotiempo que estás describiendo. Suponiendo que la topología de las curvas temporales sea lo bastante sencilla (es decir, que no haya curvas temporales cerradas) o que la solución sea independiente del tiempo, lo más fácil es examinar la topología de la parte puramente espacial de la solución; $D=3$ Así que $k=B_2$ .

@Siva señaló que la única superficie relevante no contratable que introduce el horizonte de sucesos es una esfera, $\mathbb{S}^2$ así que supongo* que $B_2 = 1$ . Esto significaría que $k=1$ que es a género, sino porque $B_2$ no es un número par, esencialmente porque los espaciostiempos asintóticamente planos como estos son abiertos, no cerrados, no podemos interpretarlo en el mismo sentido que el género de un toro u otro cuerpo manejable en 2 dimensiones. Pero es un género en algún sentido modificado, es un género no orientable.

Por lo tanto, yo diría que $k=1$ en este caso, y claramente $k=0$ para un espaciotiempo asintóticamente plano sin agujeros negros.

EDIT: Para responder directamente a la pregunta "¿Cambia el género del espaciotiempo un agujero negro cargado o en rotación?"; sí, aumenta el género no orientable ( $k = B_2$ ) de $0$ a $1$ .

*Si hay un teórico de cuerdas o alguien más que pueda calcular grupos de homología mejor que yo, esto podría necesitar comprobación. En 2D hay un isomorfismo entre el primer grupo de homotopía (que es realmente a lo que apunta el argumento de la esfera de Siva) y el primer grupo de homología, pero esto no se cumple necesariamente en dimensiones superiores, según creo. Hice un cálculo rápido con una homología celular que parecía razonable, pero puede que esté simplificando demasiado.