¿Por qué preocuparse por las acciones de grupo?

Question

Sea X un espacio (espacio topológico, colector, etc.) y dejemos que el grupo G actúe de forma continua sobre X. ¿Qué datos extra (homotópicos, homológicos, cohomológicos, difeomórficos, etc.) se pueden extraer de X cuando se tiene en cuenta la acción del grupo en comparación con cuando se ignora completamente G? Me gustaría ver algunos ejemplos.

Answer 1

Creo que es más bien al revés: una acción de grupo de $G$ en un espacio $X$ permite construir un nuevo espacio, el cociente $G\backslash X$ (por supuesto, el espacio cociente es "bonito" sólo bajo algunas condiciones técnicas).

Reconocer que un espacio $Y$ se realiza en realidad como el espacio orbital $G\backslash X$ de algún espacio más simple $X$ puede ayudar a comprender mejor la geometría y otras características de $Y$ .

Por ejemplo, realizar el plano proyectivo real como el cociente de la esfera $S^2$ por la acción antipodal del grupo con dos elementos, hace evidente su no orientabilidad y da inmediatamente una realización concreta del elemento no trivial en el grupo fundamental.

Los casos más sencillos son posiblemente los del círculo $S^1=\Bbb R/\Bbb Z$ y el toroide $T=\Bbb R^2/\Bbb Z^2$ .

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En realidad, hay una situación importante en la que la acción de un grupo $G$ es útil para obtener información sobre $G$ (no $X$ ), es decir, cuando $X$ es un espacio lineal y $G$ actúa mediante transformaciones lineales. Este es el objeto de Teoría de la representación .

Answer 2

$\def\R{\mathbb{R}} \def\SL{\text{SL}} \def\SO{\text{SO}}$ A menudo se utiliza la acción de grupo para estudiar $G$ y no sólo para estudiar $X$ .

He aquí un ejemplo: ¿qué hace $\SL_2(\R)$ ¿se ve como un colector? Se puede resolver pensando en el grupo directamente, pero una forma más fácil es observar que actúa transitivamente en el semiplano superior mediante transformaciones de Mobius. Como el estabilizador de $i$ es el grupo de círculos $\SO_2(\R)$ obtenemos $$ \SL_2(\R)\sim \mathcal{H} \times S^1 \sim \R^2 \times S^1. $$ (¡no es un isomorfismo de grupos de Lie!)

Answer 3

$\newcommand{\SL}{\operatorname{SL}}$ He aquí una clase general de ejemplos. Sea $G$ sea un grupo complejo semisimple conectado y simplemente conectado con una acción algebraica transitiva sobre una variedad proyectiva compleja lisa $X$ . Antes de pensar en la acción de $G$ en X, poco se puede decir de la topología de $X$ . Teniendo en cuenta la acción de $G$ encontramos que $X$ debe ser $G$ -equivariantemente isomorfo a una variedad coset de la forma $G/P$ , donde $P$ es un subgrupo parabólico de $G$ . En consecuencia, podemos centrarnos en la topología de $G/P$ .

Elige un toroide máximo $T$ y un subgrupo de Borel $B$ tal que $T\subseteq B\subseteq P$ . Sea $W$ denotan el grupo de Weyl y $W_P$ el subgrupo determinado por $P$ . Tenemos la descomposición celular de Bruhat $$G/P=\coprod_{[w]\in W/W_P}BwP/P,$$ donde cada célula Bruhat $BwP/P$ tiene una dimensión igual al doble de la longitud del correspondiente representante del coset mínimo. En particular, las celdas son de dimensión par. Por lo tanto, $X$ debe ser de conexión simple, y $X$ tiene homología integral y cohomología sólo en grados pares.

Para un ejemplo concreto, consideremos la acción de $\SL_n(\mathbb{C})$ en la variedad proyectiva $X$ de banderas completas de subespacios de $\mathbb{C}^n$ . No está claro de inmediato que $X$ es de conexión simple. Sin embargo, una vez que uno ve que $\SL_n(\mathbb{C})$ actúa transitoriamente sobre $X$ Se sabe que $X$ para estar simplemente conectado.