Cálculo del anillo cociente sobre anillo polinómico sin adivinar

Question

Supongamos que tenemos un anillo cociente sobre un anillo polinómico, es decir, tenemos un ideal $I$ y un anillo, $K[X_1,...,X_n]$ entonces cuando podemos identificar $K[X_1,...,X_n]/I$ ?

¿Qué quiero decir con esto? Bueno, por ejemplo, tenemos $\mathbb{R}[x]/(x^2+1) \cong \mathbb{C}$ y $\mathbb{C}[x,y]/(x-y) \cong \mathbb{C}[x]$ .

Así que dado un ideal, y un anillo, ¿hay alguna manera de ver lo que $K[X_1,...,X_n)/I$ es "naturalmente" isomorfo a, ¿en cierto sentido?

Me he encontrado con esto al intentar identificar ideales primos. Es decir, dado un ideal, ¿cómo podemos comprobar rápidamente que es primo?

Answer 1

En la primera pregunta pides una clasificación de los cocientes del anillo de polinomios, ¿no?

Esto es (casi) imposible. Permítanme darles algunas razones.

Si relajamos un poco las condiciones del anillo polinómico, es decir, permitimos anillos polinómicos sobre $\mathbb{Z}$ con infinitas variables, entonces cualquier anillo es de esta forma. Clasificar todos los anillos es un problema demasiado difícil.

Pero incluso si sólo permite $K$ sea un campo y finitamente muchas variables, esta tarea parece imposible. Los objetos básicos de estudio en geometría algebraica son variedades. Si se restringe a variedades afines sobre un campo $K$ son, hasta una equivalencia de categorías, las mismas que las finitamente generadas $K$ -que son cocientes de un anillo polinómico sobre $K$ . Hay resultados parciales, pero no hay resultados completos de clasificación.

Lo que sí sabemos es que si tomamos el cociente de un anillo por un ideal primo (resp. ideal máximo), obtenemos un dominio (resp. campo).

En una variable se puede utilizar teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . Para dos variables los ideales primos son "conocidos" ver aquí .

No existe un criterio general para comprobar si un ideal es primo. En una variable es lo mismo que encontrar polinomios irreducibles. Hay resultados parciales como Lemma de Gauss y Criterio de Eisenstein entre otros, pero incluso en una variable no hay manera fácil.