Valores propios y funciones propias del operador integral de Fredholm $K(g) = \int_0^1 e^{x t} g(t) \, dt$ .

Question

Me gustaría calcular los valores propios y las funciones propias del operador integral de Fredholm

$$K(g) = \int_0^1 e^{xt} g(t) \,dt.$$

Las fuentes que he consultado* parecen decir que el proceso es bastante complicado. ¿Se ha publicado algo sobre este núcleo? O, si no, ¿estoy en lo cierto al pensar que va a ser algo difícil de hacer?

* Véanse, por ejemplo, las ecuaciones (12) y siguientes: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Fredholm_equation

Answer 1

Tenemos que resolver el problema propio:

$$\int_0^1 K(x,t) g(t) dt= \lambda g(x)\tag{1}$$

Aunque dudo que exista una solución exacta en términos de función conocida, podemos encontrar una aproximada explotando el método descrito aquí para una determinada clase de núcleos:

$$K(x,t)=\sum_{j=0}^n \phi_j(x) \psi_j(t)$$

La aproximación se consigue mediante la expansión de Taylor del núcleo exponencial:

$$e^{xt} \approx \sum_{j=0}^n \frac{x^j t^j}{j!}$$

Por consideraciones de simetría, establezcamos:

$$ \phi_j(x)=\frac{x^j}{\sqrt{j!}} \\ \psi_j(t)=\frac{t^j}{\sqrt{j!}}$$

Necesitamos calcular:

$$a_{jk}=\int_0^1 \psi_j(t) \phi_k(t) dt=\frac{1}{\sqrt{j!k!}} \int_0^1 t^{j+k} dt=\frac{1}{(j+k+1)\sqrt{j!k!}}$$

A continuación, los valores propios (aproximados) se definen a partir de la ecuación:

$$\det \{ a_{jk} - \lambda \delta_{jk} \}=0$$

En otras palabras, basta con diagonalizar la matriz $\{a_{jk}\}$ .

Las funciones propias serán:

$$g(x)=\sum_{j=0}^n C_j \phi_j(x)=\sum_{j=0}^n C_j \frac{x^j}{\sqrt{j!}}$$

Dónde $\{C_j\}$ son vectores propios de la matriz.

Por lo que veo, las funciones propias para $n \to \infty$ deben converger a las funciones propias exactas, y en caso de que sean analíticas, la expansión anterior define sus series de Taylor.

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Aquí tienes una comprobación numérica en Mathematica. Para $n$ tan pequeño como $10$ obtenemos una solución de aspecto perfecto (la curva azul es el lado izquierdo de la ecuación (1) y la curva naranja discontinua es el lado derecho):

Nm = 10;
A = Table[N[1/(j + k + 1)/Sqrt[j! k!], 100], {j, 0, Nm}, {k, 0, Nm}];
{ln, Cn} = N[Eigensystem[A], 20];
g[n_, x_] := Sum[Cn[[n]][[j + 1]]/Sqrt[j!] x^j, {j, 0, Nm}];
Plot[{NIntegrate[Exp[x t] g[1, t], {t, 0, 1}], ln[[1]] g[1, x]}, {x, 
  0, 1}, PlotStyle -> {Thick, Dashed}]

Y dos eigenfunciones más: