Una representación n!-dimensional del grupo simétrico S_{n+2}

Question

Me he encontrado con una secuencia de representaciones $V_n$ del grupo simétrico $S_{n+2}$ que tiene la propiedad de restringir la acción $S_n \subset S_{n+2}$ da la representación regular: $$ Res^{S_{n+2}}_{S_n} V_n = \mathbb{Q}S_n. $$ En otras palabras, hay alguna forma natural de dar la rep regular de $S_n$ una acción de $S_{n+2}$ . Esto (para mí) es sorprendente, pero imagino que ya se habrá observado.

Para concretar, he aquí los primeros términos de la secuencia, escritos como suma de particiones (utilizando la indexación habitual de representaciones de $S_{n+2}$ por particiones de $n+2$ ):

[2]
[3]
[2,2]
[3,1,1]
[3,3]+[2,2,1,1]+[4,1,1]
...

Tengo dos preguntas:

1. ¿Existen ya trabajos sobre la no restricción de la representación regular de un grupo simétrico? ¿Es mi secuencia particular de representaciones $V_n$ ¿Conocido?
2. En general, ¿existen circunstancias en las que una representación de $S_n$ tiene una forma canónica de extender la acción a $S_{n+1}$ ?

Answer 1

1. Sí, tu serie de representaciones se parece (excepto por el primer término, pero debe estar la ley de los números pequeños merodeando por ahí) a la representación del signo veces el Módulo Whitehouse Véase, por ejemplo estas diapositivas de Richard Stanley . Básicamente, el módulo Whitehouse puede verse como el componente respectivo de la operada cíclica Lie.

2. La última frase del párrafo anterior da la opinión de un operadchik sobre su segunda pregunta. Si su representación de $S_n$ aparece como componente de la aridad $n$ de una determinada operada, entonces la situación más "natural" en la que puede extenderse a $S_{n+1}$ es cuando su operada es cíclica o anticíclica (véase, p. ej. este artículo de Getzler y Kapranov y este documento de Chapoton para conocer mejor la historia).

Answer 2

En $n+2$ es un primo $p,$ es relativamente fácil construir una representación de este tipo. Para entonces el grupo simétrico $S_{p}$ contiene un grupo de Frobenius $F$ de orden $p(p-1).$ Cada elemento de $F$ o tiene orden $p$ o tiene orden dividiendo $p-1.$ Además, cada elemento no identitario de $F$ de orden divisorio $p-1$ tiene exactamente un punto fijo en la acción de permutación natural de $S_{p}.$ En consecuencia, si inducimos el módulo trivial para $F$ a $S_{p},$ y restringir ese módulo de nuevo a la copia natural de $S_{p-2},$ entonces obtenemos el módulo regular para $S_{p-2}$ (utilizando, por ejemplo, la fórmula de Mackey y el hecho de que $[S_{p}:F] = (p-2)!,$ y señalando que $F^{x} \cap S_{p-2} = 1$ para todos $x \in S_{p}).$ Sin embargo, no veo de antemano una manera fácil de generalizar este argumento cuando $n+2$ no es primo

Obsérvese también que un argumento bastante más sencillo utilizando el subgrupo cíclico $X$ generado por un $n+1$ muestra que (para $n$ ), el módulo de permutación proporcionado por la acción de $S_{n+1}$ en los cosets (digamos derechos) de $X$ se limita al módulo regular de $S_{n}.$