¿Son estos espacios cocientes homeomorfos a un cilindro y a la banda de Möbius?

Question

Considere la posibilidad de $[0,1]\times [0,2]$ la función $f:\{0\}\times [0,1]\to \{1\}\times [0,1]$ dada por $f(0,x)=(1,x)$ . Demostrar que el espacio cociente dado por este $f$ es homeomorfo al cilindro y hacer lo mismo para $f(0,x)=(x,1-x)$ (este último espacio cociente se denomina Banda de Möbius).

¿Alguna idea de cómo iniciar este problema?. Por lo general, me gusta dar un bosquejo de lo que he intentado, pero éste me dejó desconcertado, ni siquiera tengo una idea para empezar.

Lo que sí tengo son algunas preguntas al respecto:

(1) ¿Es $f$ la relación de equivalencia?, entonces el espacio cociente aquí es $([0,1]\times [0,2])/f$ ?

(2) ¿Qué es un cilindro?. Aparte de la definición clásica, ¿cómo se define un cilindro en topología?

(3) $f$ parece ser biyectiva, ¿cómo puede una función biyectiva definir clases equivalentes para tener un espacio cociente?

Answer 1

1. Aquí creo que la relación implícita es $x \sim y \iff f(x) = y$ ou $f(y) = x$ (siempre deberíamos tener esa $x \sim x$ también).
2. No sé si existe una definición especialmente topológica del cilindro, si se utiliza algo como $S^1 \times [0,1]$ (donde $S^1$ es el círculo unitario) debería estar bien. También puedes encontrar una expresión explícita para el cilindro como subconjunto de $\mathbb{R}^3$ .

No estoy muy seguro de lo que la última parte de la pregunta está pidiendo, ya que parece definir la banda de Mobius como el espacio cociente allí, así que a menos que haya visto otra expresión para la tira no podía demostrar que es homeomorfo a ella. Supongo que sólo quieren que demuestres que la relación de equivalencia funciona bien.