Si un subgrupo tiene índice finito en $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ ¿Tiene índice finito en $\mathbb{Q}$ ?

Question

Estaba luchando con la última línea de esta prueba. (esto se encontró aquí: http://www-users.math.umn.edu/~felix077/descarga/sec3.pdf )

Entiendo que ker $(\varphi \sigma) =\varphi^{-1} (\sigma^{-1} (N)) $ y que éste es un subgrupo propio de $\mathbb{Q}$ pero no entiendo cómo pueden hablar de su índice en $\mathbb{Q}$ .

El problema anterior decía que no hay subgrupos propios de $\mathbb{Q}$ con un índice finito, pero ¿no estamos tratando con $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ ¿aquí? Si un subgrupo tiene índice finito en $\mathbb{Q} / \mathbb{Z}$ ¿tiene índice finito en $\mathbb{Q}$ ?

Answer 1

En primer lugar, es $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ no $\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}$ . Se trata de un grupo cociente.

Ahora bien, puesto que $N\leq \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ tiene índice finito entonces el cociente $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})/N$ es un grupo finito. $\varphi\circ\sigma:\mathbb{Q}\to(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})/N$ es un homomorfismo de grupos. Por lo tanto, por el primer teorema de isomorfismo tenemos $\mathbb{Q}/Ker(\varphi\circ\sigma)\cong Im(\varphi\circ\sigma)\leq(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})/N$ . De ello se deduce que $\mathbb{Q}/Ker(\varphi\circ\sigma)$ es un grupo finito, por lo que $Ker(\varphi\circ\sigma)$ tiene índice finito en $\mathbb{Q}$ . Ahora bien, ¿por qué es un subgrupo propio? Porque si el núcleo fuera todo $\mathbb{Q}$ entonces obtendríamos que el núcleo de $\varphi$ (que es $N$ ) es todo $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ lo que contradice $N$ siendo un subgrupo propio de $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ .