Descomponer $X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + 1$ en $\mathbb{Z}_2$

Question

¿Hay alguna forma inteligente de descomponer $f(X) = X^8 + X^7 + X^6 + X^4 + 1$ en factores irreducibles sobre $\mathbb{Z}_2$ ? ¿O para ver que ella misma es irreductible?

Esto es lo que he pensado hasta ahora: $f(0) \ne 0$ y $f(1) \ne 0$ Así que $f$ no tiene factores lineales. Tampoco tiene factores cuadráticos, porque el único polinomio cuadrático irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$ , $X^2 + X + 1$ no divide $f$ . Podría seguir encontrando todos los polinomios irreducibles de grado 3 y 4 y realizando las divisiones de polinomios correspondientes.

¿Hay alguna solución más inteligente?

Answer 1

Tenga en cuenta que $(x^8+x^7+x^6+x^4+1)(x+1)=x^9 + x^6 + x^5 + x^4 + x + 1$ . Así, si $\alpha^5=1$ entonces $\alpha$ es una raíz de este último polinomio. Es decir, este último polinomio es divisible por $x^5+1=(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)(x+1)$ . Pero esto significa que $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ es un factor de su polinomio original. Ahora la división de polinomios nos lleva a

$$x^8+x^7+x^6+x^4+1=(x^4 + x + 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).$$

Es fácil ver que ambos fators del lado derecho son irreducibles sobre $\mathbb{Z}_2$ . De hecho, no tienen raíces en $\mathbb{Z}_2$ y no son divisibles por $x^2+x+1$ .