Demostrar que $\int\delta(x-b)\delta(x-a)\ \mathsf dx =\delta(a-b)$ .

Question

Demuestre que la convolución de dos $\delta$ en diferentes puntos es de nuevo una función de Dirac $$ function. Convolution of a Dirac $ \delta $ function with a function $ f $ is defined as : $$ \int\delta(x-y)f(x)\mathsf dx = f(y).$$

No soy bueno con Dirac. ¿Puede ayudarme? Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que para todas las funciones de prueba $f$ tenemos

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta (b-a)f(b)\,db=f(a)$$

Ahora, para todas las funciones de prueba tenemos

$$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x-a)\delta(x-b)\,dx\right)\,f(b)\,db&=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x-a)\left(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-b)\,f(b)\,db\right)\,dx\\\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x-a)f(x)\,dx\\\\ &=f(a) \end{align}$$

Por lo tanto, observamos que como distribuciones, $\delta(b-a)$ da el mismo resultado que $\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x-a)\delta(x-b)\,dx$ . Por lo tanto, podemos escribir

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x-a)\delta(x-b)\,dx=\delta (b-a)$$

¡como se iba a demostrar!