Correspondencia de un subgrupo de índice finito con el grupo entero

Question

Estimados todos,

He aquí la cuestión:

¿Existe un grupo finitamente generado $G$ con un subgrupo propio $H$ de índice finito, y un homomorfismo (onto) $\phi:G\to G$ tal que $\phi(H)=G$ ?

Mi respuesta es "no", por la siguiente razón (y esto es básicamente de donde viene la pregunta): en la Teoría de Semigrupos hay una noción de índice de Rees -- para un subsemigrupo $T$ en un semigrupo $S$ el índice de Rees es $|S\setminus T|$ . La cuestión es que el índice de grupo y el índice de Rees comparten las mismas características: digamos que para casi todas las condiciones de finitud clásicas $\mathcal{P}$ que tienen sentido tanto para grupos como para semigrupos, el paso de $\mathcal{P}$ a sub o supergrupos de índice finito se cumple si y sólo si este pasaje se cumple para sub o supersemigrupos de índice de Rees finito. También hay otros casos de analogía entre los índices. Ahora bien, la pregunta del post es "no" para el índice de Rees en el caso de los semigrupos, así que me pregunto si ocurre lo mismo con los grupos.

Además, creo que la respuesta a la pregunta puede arrojar algo de luz sobre los grupos autosimilares.

Answer 1

He aquí una prueba de que no existe tal grupo finitamente generado. Es similar a la prueba de Mal'cev de que los grupos finitos residuales finitamente generados no son hopfianos.

En primer lugar, tenga en cuenta que $\ker\phi$ no está contenido en $H$ ---de lo contrario, $|\phi(G):\phi(H)|=|G:H|$ . Sea $k\in\ker\phi\smallsetminus H$ . Porque $\phi$ es suryectiva, existen elementos $k_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ tal que $\phi^n(k_n)=k$ .

Sea $\eta:G\to\mathrm{Sym}(G/H)$ sea la acción natural por traslación a la izquierda. Entonces los homomorfismos $\eta\circ\phi^n$ son todos distintos. En efecto,

$\eta\circ\phi^n(k_n)=\eta(k)\neq 1$

porque $k\notin H$ mientras que

$\eta\circ\phi^{m}(k_n)=\eta(1)=1$

para $m>n$ . Pero sólo puede haber un número finito de homomorfismos distintos de un grupo finitamente generado a un grupo finito.

Answer 2

He aquí una variación del bonito argumento de Henry que utiliza el teorema de Malcev. Sea $N$ sea la intersección de todos los subgrupos normales de índice finito de $G$ . Claramente $\phi(N)\subseteq N$ porque un endomorfismo suryectivo lleva subgrupos normales de índice finito a subgrupos normales de índice finito. Por lo tanto $\phi$ induce un endomorfismo propio del grupo finito residualmente generado $G/N$ . Por el teorema de Malcev de que f.g. los grupos residualmente finitos son Hopfianos, resulta que $\phi$ induce un automorfismo, lo que significa que $\ker \phi$ se encuentra en $N$ . Pero entonces, como cada subgrupo de índice finito contiene un subgrupo normal de índice finito, tenemos $\ker \phi\subseteq H$ lo cual es una contradicción, como señala Henry, ya que en ese caso se tendría $[G:H]=[\phi(G):\phi(H)]$ .