Mínimo número de triángulos escalenos formados por $13$ puntos en un plano

Question

Dado $13$ puntos en un plano sin tres en una recta, demuestre que hay al menos $130$ triángulos escalenos formados a partir de los puntos.

Pensaba que el mayor número de triángulos no escalenos con $13$ puntos sucederían en un $13$ polígono de lado, así que intenté calcular este valor, y obtuve $78$ así que lo resté del número de triángulos formables por $13$ puntos, $13 \choose 3$ y luego tengo $208$ . Sé que está mal pero no se me ocurre otra cosa.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Existen ${13 \choose 2}$ un par de puntos.

Cada pareja puede ser el punto final de la base de como máximo $2$ triángulos isósceles, de lo contrario con tres o más triángulos, los correspondientes tres o más vértices opuestos a la base estarían sobre una recta (la mediatriz de la base). Si en cambio uno o más de los triángulos isósceles son equiláteros, podemos elegir una base con algún criterio, por ejemplo la formada con los dos puntos más próximos al origen.

Por lo tanto, hay como máximo ${13 \choose 2} \cdot 2$ triángulos isósceles o equiláteros y al menos ${13 \choose 3} - {13 \choose 2} \cdot 2 = 130$ triángulos escalenos. Sin embargo, creo que en realidad hay muchos más.

En lugar de contar sólo en la base, podríamos contar en todos los lados. En ese caso, por cada par de puntos se puede construir desde el lado correspondiente como máximo $6$ triángulos isósceles o equiláteros ( $2$ triángulos con el lado como base y $4$ triángulos con el lado como cateto), pero de esta forma cada triángulo se contaría $3$ veces, por lo que todavía tenemos al menos ${13 \choose 3} - {13 \choose 2} \cdot \frac{6}{3} = 130$ triángulos escalenos.