Dimensión del espacio de mapas lineales entre espacios vectoriales

Question

Sea $F$ sea un campo, $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre el campo $F$ . La dimensión de $V$ es $n$ y la dimensión de $W$ es $m$ donde $m, n$ son números naturales. Sea $\mathcal{L}$ sea un espacio vectorial de todos los mapas lineales de V a W.

Determinar la dimensión de $\mathcal{L}$ en función de los valores $m,n$ .

Sé que debería haber una solución utilizando el isomorfismo entre $\mathcal{L}$ un espacio vectorial de $m \times n$ matrices, pero no puedo probarlo.

Answer 1

Este es el esquema de la prueba:

Sea $B=\{ v_1,...,v_n\}$ sea una base para $V$ y $C=\{w_1,..., w_m\}$ sea una base para $W$ . Ahora intentaremos encontrar una base para $$\mathscr{L}(V,W) = \{T:V\rightarrow W\ |\ T \ \text{is linear} \}. $$ Para cada elemento de $\{1,..., m\} \times \{1,..., n\}$ consideremos la transformación lineal $E^{p,q}$ cuya imagen en la base $B$ viene dada por $$E^{p,q}(v_i) = \begin{cases} 0, & \text{if $i\neq q$} \\ w_p, & \text{if $i = q$} \end{cases}$$

Ahora sólo queda demostrar que estas transformaciones lineales son linealmente independientes y que abarcan $\mathscr{L} (V,W)$ es decir, que forman una base para ese espacio. Como el conjunto de estas transformaciones lineales tiene $nm$ se deduce que dim $\ \mathscr{L} (V,W) = nm$ .

Los detalles los tienes que completar tú, pero la idea principal está ahí. Deberías ser capaz de demostrar que existen transformaciones lineales que satisfacen la imagen dada en la base y que el conjunto es linealmente independiente y abarca $\mathscr{L} (V,W)$ (si no es así, hágamelo saber).

Esta prueba fue tomada del libro de Álgebra Lineal de Hoffman y Kunze. La idea de la prueba es más o menos la misma que establecer un isomorfismo entre $\mathscr{L} (V,W)$ y $M_{m \times n}(F)$ (piense en la representación matricial de una transformación lineal de $V$ a $W$ con respecto a la base $B$ y $C$ ), que es la prueba "de siempre".