La gráfica del reordenamiento simétrico-decreciente de alguna función Ej. $e^{x}$

Question

$A^*$ para ser la bola centrada en 0 con la misma medida que

$A$ . El reordenamiento simétrico-decreciente de una función medible $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ i $$f^*(x):=\int_0^{\infty} \chi_{\{|f(x)|>t\}^*}(x)dt,$$

en comparación con la representación "layercake" de $f$ , $$f(x)=\int_0^{\infty} \chi_{\{f(x)>t\}}(x)dt.$$

Entonces, ¿hay alguna manera de que pueda obtener una fórmula de $f^{*}$ para ver algunos ejemplos (p. ej. $e^{x}$ ), para que pueda graficarlos. Sé que todas parecerán parábolas, pero me gustaría conocer alguna forma precisa de verlas (quizá computacional-Mathematica).

gracias

Answer 1

El reordenamiento simétrico decreciente no está definido para $e^x$ en $\mathbb R$ . La definición requiere $|\{|f|>t\}|<\infty$ para todos $t>0$ . Además, es mejor asumir $f\ge 0$ ya que de todos modos no hacemos caso de la señal.

Para una función elegida al azar como $f(x)=x^2 e^{-x^2}$ es poco probable que el reordenamiento tenga una forma cerrada, porque está ligado a la resolución de la ecuación trascendental $f(x)=t$ para $x$ . Para obtener ejemplos prácticos e ilustrativos, lo mejor es elegir funciones algebraicas en un intervalo finito (defínalas como $0$ fuera del intervalo).

Ejemplo 1 . $f(x)= x$ en $[0,10]$ cero en el resto. Entonces $f^*(x)= 10-2|x|$ en $[- 5,5]$ cero en el resto.

Ejemplo 2 . $f(x)= x^2$ en $[0,10]$ cero en el resto. Entonces $f^*(x)= (10-2|x|)^2$ en $[- 5,5]$ cero en el resto. Lo que ilustra un punto: $(\phi\circ f)^*=\phi\circ f^*$ cuando $\phi$ aumenta en el rango de $f$ .

Ejemplo 3 no monótona. $f(x)=|x|$ en $[-1,3]$ cero en el resto. Entonces $f^*(x)=3-2|x|$ en $[-1,1]$ , $f^*(x)=2-|x|$ cuando $1\le |x|\le 2$ y cero en el resto.

Ejemplo 4 también no monótona. $f(x)= x^4+3x^2$ en $[-1,3]$ cero en el resto. ¿Parece difícil? No, basta con aplicar la observación del ejemplo 2 al ejemplo 3.