Desviación al jugar una partida con una moneda justa

Question

Por alguna razón, esta pregunta me resulta difícil.

Tú y un amigo jugáis a un juego en el que cada uno lanza una moneda equilibrada. Si las caras superiores de las dos monedas son cruz, ganáis \$1; if the faces are both heads, you win \$ 2; si las monedas no coinciden (una muestra la cara y la otra la cruz), pierdes \$1. Calcule el valor esperado y la desviación típica de sus ganancias totales en este juego si juega 50 veces. juego si juega 50 veces.

Valores PMF: \begin{array}{c|c} $& p\\\hline +$1 & .25\\ +$2 & .25\\ -$1 & .50 \end{array}

He calculado la expectativa como $$1(.25)+2(.25)+(-1)(.5) = .25,$$ así que $$E(50X) = 50\cdot.25 = \$ 12,5 $$ que he confirmado que es correcto.

Sé que necesito $\operatorname{Var}(50X)$ pero haciendo un cálculo de la varianza estándar y luego utilizando la fórmula $a^2\operatorname{Var}(X)$ no me da el valor correcto.

¿Qué paso me estoy perdiendo?

Answer 1

Está confundiendo la distribución de $50X_1$ y $\sum_{k=1}^{50}X_k$ cuando ${(X_k)}_{k=1}^n$ es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

Es cierto que $\mathsf E(50X_1)=50\mathsf E(X_1)$ y $\mathsf{Var}(50X_1)=2500\mathsf {Var}(X_1)$ . Sin embargo, no se trata de eso.

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Debido a la Linealidad de las Expectativas, la expectativa de la serie es la serie de expectativas. Como las distribuciones son idénticas, esta serie es igual a $50$ veces una expectativa individual .

$$\begin{align}\mathsf E(\sum_{k=1}^{50}X_k) ~&=~ \sum_{k=1}^{50}\mathsf E(X_k) & \text{Linearity of Expectation} \\[1ex] & =~ 50\,\mathsf E(X_1) & \text{Indentical Distributions}\end{align}$$

Resultado similar, razonamiento diferente.

(Nota: No hemos utilizado la independencia en este punto).

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La distinción se hace evidente al tratar la varianza.

Cuando se trata de la varianza de la serie, tenemos que emplear la Bilinealidad de la Covarianza.

$$\begin{align}\mathsf {Var}(\sum_{k=1}^{50} X_k) ~&=~ \mathsf {Cov}(\sum_{k=1}^{50}X_k,\sum_{j=1}^{50}X_j) \\ &=~ \sum_{k=1}^{50}\sum_{j=1}^{50}\mathsf{Cov}(X_k,X_j) &&\text{Bilinearity of Covariance} \\ &=~ \sum_{k=1}^{50}\mathsf {Cov}(X_k,X_k) ~+~ 0 &&\text{Independence: }\mathsf{Cov}(X_j,X_k)=0\text{ when }j\neq k \\[1ex] &=~ 50\mathsf {Var}(X_1) && \text{Identical distributions} \end{align}$$

Answer 2

La varianza es la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media. $$ 0.25\cdot1^2+0.25\cdot2^2+0.5\cdot(-1)^2-0.25^2=1.6875 $$ Para sucesos independientes, la varianza de una suma es la suma de las varianzas, por lo que la varianza para $50$ eventos es $$ 50\cdot1.6875=84.375 $$

Answer 3

$Variance= 50 Var(X) = 50.[{.25(1-.25)^2 + .25(2-.25)^2 +.5*(-1-.25)^2}]=84.375$