¿Existe algún libro de análisis con una introducción adecuada a las demostraciones matemáticas?

Question

Estoy haciendo mi primer curso de análisis en la universidad. Como estoy estudiando en Alemania, no existe una distinción real entre cálculo y análisis real, lo que significa que éste es el primer curso universitario sobre algo de análisis que se puede cursar aquí. Por lo tanto, soy nuevo en los conceptos de demostración matemática. Sin embargo, se utilizan regularmente en el curso y a menudo tengo problemas para seguirlas. Como también recibo clases de principios matemáticos y lógica, mi idea inicial era comprar un libro de texto dedicado a las demostraciones, por ejemplo, Hammack's Libro de Pruebas Velleman's Cómo demostrarlo o Chartrand's Pruebas matemáticas: Una transición a las matemáticas avanzadas que podría utilizar para el análisis, así como las otras clases.

Sin embargo, algunas respuestas a este pregunta implica que tal vez éste no sea el mejor camino a seguir y que debería más bien comprar un libro sobre un determinado campo matemático, en mi caso el análisis, que contenga una introducción rigurosa a las pruebas en sí y las aplique. Además, como el tiempo es limitado, no estoy muy seguro de si tiene sentido centrarse en un libro sobre demostraciones matemáticas (que a veces tienen varios cientos de páginas) en lugar de en el propio curso.

Como de todos modos me falta un texto introductorio al análisis, pensé en seguir las recomendaciones de las respuestas y conseguir un libro que enseñe análisis introductorio con un enfoque en la notación formal, así como en la escritura y comprensión de demostraciones matemáticas. Por lo que he leído hasta ahora, Abbott's Comprender el análisis y de Tao Análisis I + II pueden ser grandes opciones para ese propósito, sin embargo, una respuesta sobre la pregunta a la que me refería antes sugiere que puede haber un libro específico que esté específicamente diseñado así.

¿Debería conseguir un libro aparte sobre demostraciones matemáticas o me convendría más uno de los libros de análisis que he mencionado (o uno completamente distinto)?

Answer 1

Análisis $1$ de Tao tiene un apéndice sobre los fundamentos de la lógica matemática. Así que puedes leerlo antes de empezar a hacer los ejercicios.

Pero antes de leer ese apéndice, le aconsejo que lea el primer capítulo (técnicamente el segundo) del libro sobre la construcción de los números naturales. Aquí es donde te introducirás en la Principio de inducción matemática y utilizar ese principio para demostrar muchas afirmaciones relativas a los números naturales, como que la suma y la multiplicación para los números naturales es conmutativa, asociativa, etc.

La única ventaja de estos cursos o libros de introducción a las pruebas es que no perderás el tiempo buscando esas cosas de nuevo. Por ejemplo, yo no leí todo el libro "Cómo demostrarlo", sino sólo una parte. Y no sabía lo que significaba la frase "si y sólo si" para demostrar un enunciado matemático. Sólo lo entendí cuando fui a comprobar si mi demostración era correcta.

Sinceramente, sólo he aprendido todo lo relacionado con la demostración de enunciados matemáticos leyendo las pruebas del libro del que aprendía y las soluciones de esos ejercicios.

Answer 2

Puede probar el capítulo 1 del libro de Robert Ash Variables reales con topología básica del espacio métrico . Abarca todos los aspectos básicos de la redacción de pruebas, en particular la teoría elemental de conjuntos (operaciones básicas con conjuntos, cardinalidad, conjuntos contables e incontables, etc.), el cálculo de predicados ( $\forall,\,\exists$ (negación de predicado lógico, contrapositivo,... etc.), y la inducción matemática.

El libro está bien escrito y es conciso. Contiene soluciones completas a los ejercicios. Su edición en papel es barato (11,95 USD en el momento de escribir estas líneas) y tiene muy buena calidad de impresión. También hay un gratis y legal edición electrónica para descargar, aunque las fuentes de esta edición están deliberadamente en gris.

El único inconveniente del texto de Ash es que, aunque cubre una amplia gama de temas (por ejemplo, como texto introductorio, proporciona incluso un ejemplo de una función continua pero no diferenciable en ninguna parte), no profundiza lo suficiente. Como texto de análisis, creo que es más adecuado para los no especialistas o aficionados a las matemáticas. Sin embargo, para un libro de análisis con una introducción adecuada a las demostraciones matemáticas, es una opción viable.