¿Hay algún problema con esta simulación numérica de las órbitas de fotones de Schwarzschild?

Question

Esta es una pregunta complementaria a la respuesta dada en ¿Cuál es la fuerza gravitatoria exacta entre dos masas, incluidos los efectos relativistas? . Lamentablemente, el autor no está en línea desde hace algunos años y, por lo tanto, ya no responde a los comentarios.

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En la respuesta dada allí la ecuación diferencial del movimiento en coordenadas de Schwarzschild era

$$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 3} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$$

para la aceleración radial y

$$\ddot{\theta} = -\frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta}$$

para la aceleración angular. Cuando trazo la trayectoria de un objeto cercano a la velocidad de la luz, con esta fórmula obtengo una órbita estable a $r_0=2 r_s$ :

Pero ¿no debería ser en $r_0=1.5 r_s$ El esfera de fotones ? Con esa fórmula la partícula en órbita caería en el agujero negro muy rápidamente, por ejemplo, con $v_0=0.999c$ en $r_0=1.6 r_s$ :

Cuando sustituyo el término 3Gm/c² por 2GM/c² de forma que

$$\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2} + r\dot{\theta}^2 - \frac{ {\color{red} 2} G m}{c^2}\dot{\theta}^2$$

Obtengo el resultado esperado con una órbita estable justo en la esfera del fotón (velocidad inicial de nuevo $v_0=0.999c$ ):

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Así que mi pregunta es: ¿está mal la fórmula y hay que sustituir el factor 3 por un factor 2, o hay diferentes distancias mínimas para las órbitas estables, una para las partículas y otra para los fotones? ¿O me he perdido algo más? Wikipedia dice:

El radio de la esfera fotónica, que es también el límite inferior para cualquier órbita estable es $1.5 r_s$

así que yo esperaría que también las partículas con masa deberían permanecer en órbita si están cerca de la velocidad de la luz y ligeramente por encima de la esfera fotónica.

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Para la reproducción del problema el Código Mathematica como creo que es correcto está disponible (con el factor 2 en lugar de 3)

Answer 1

Aquí parece haber varias confusiones. Las partículas masivas y sin masa se comportan de forma cualitativamente diferente, incluso si la partícula masiva viaja muy rápido.

• El radio mínimo de una órbita estable para una partícula masiva es $3 r_s$ . Las órbitas circulares por encima de este radio son todas estables.
• Las partículas sin masa sólo tienen órbitas circulares en la esfera del fotón, $(3/2) r_s$ . Estas órbitas son no estable, Wikipedia se equivoca. Las partículas sin masa también obedecen a una ecuación de movimiento diferente.

La otra confusión es que lo que muestran tus simulaciones no tiene nada que ver con la estabilidad. Tus partículas están cayendo al centro porque no les estás dando la velocidad inicial correcta. Es como en mecánica clásica: si de repente le quitaras la mitad de la velocidad a la Tierra, empezaría a caer hacia dentro. Para inicializarlas a la velocidad inicial correcta, necesitas resolver para $\dot{\theta}$ para que $\ddot{r} = 0$ .

Esto contrasta con el caso sin masa, en el que la velocidad inicial ya está determinada por ti (es decir, es la velocidad de la luz).

Answer 2

Gracias a la pista dada por knzhou he averiguado que si se quiere dar a la partícula una velocidad inicial adecuada de $v_0$ la velocidad inicial en coordenadas de Schwarzschild $v_i$ sería entonces

$$\dot{\theta}(0)\cdot r(0) = \frac{{v\perp}_0}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$$

para la componente transversal, y

$$\dot{r}(0) = \frac{{v\parallel}_0\cdot \color{blue}{\sqrt{1-r_s/r_0}}}{ \color{green}{\sqrt{ 1-v_0^2/c^2}}}$$

para la componente radial, ya que hay que compensar la contracción de longitud gravitatoria (azul) y la contracción de longitud debida a la velocidad de la partícula (verde) con respecto al tiempo propio de la partícula.

Ahora obtengo los resultados esperados: una órbita circular con velocidad inicial transversal alrededor de la esfera del fotón, y una partícula estacionaria con velocidad inicial hacia el exterior alrededor del horizonte de sucesos cuando v0 se fija cerca de c.