Una región está delimitada por la línea $y=x+6$ y la parábola $y=x^2$ girado alrededor de $x=3$ . Conozco la altura del caparazón: $x+6-x^2$ y el grosor: $dx$ . Tengo problemas para encontrar el radio de la cáscara, ya que se gira alrededor de $x=3$ . Sé que el radio sería $x$ si se girara alrededor del eje y. Lo que me confunde es que puedo fijar la concha a la izquierda o a la derecha del eje y. El radio podría $x+3$ o $3-x$ . ¿Qué me estoy perdiendo aquí y cómo determinaría el radio si la región no está girada sobre el eje x o y?
Respuesta
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Has hecho un dibujo y has observado que la parábola y la recta se encuentran en $x=-2$ y $x=3$ .
Muy convenientemente, estamos girando sobre la línea $x=3$ .
Tomemos una delgada franja vertical de anchura " $dx$ " centrado en $x$ . Dibújalo, tal vez alrededor de $x=1$ .
En distancia de la banda a la línea $x=3$ estamos rotando es $3-x$ . Porque eso es lo lejos que tenemos que viajar hacia la derecha para llegar desde $x$ a $3$ .
La altura de la banda es $(x+6)-x^2$ . Por lo tanto, el volumen de la cáscara delgada generada por la rotación de la tira es de aproximadamente $2\pi(3-x)((x+6)-x^2)\,dx$ .
"Sumar" (integrar) de $x=-2$ a $x=3$ . Nuestro volumen es $$\int_{-2}^3 2\pi(3-x)((x+6)-x^2)\,dx.$$
