¿Cómo encontrar los valores propios y la base de la inversa de la transformación lineal?

Question

Sea $T:\ \Bbb{R}^3\rightarrow \Bbb{R}^3$ sea un operador lineal que tiene valores propios $1, 2, 3$ con los vectores propios asociados $(2,1,3),(1,4,0),(1,0,0)$ respectivamente. Cómo hallar los valores propios de $T^{-1}$ y una base para cada eigespacio?

Desde $T(x)=\lambda x$ tenemos $T^{-1}(x)=\lambda^{-1} x=\frac{1}{\lambda}x$ por lo que creo que los valores propios son $1,\frac12, \frac13$ . En cuanto a la base, no tengo ni idea de qué escribir.

Answer 1

Si $x$ es un vector propio de $T$ con valor propio $\lambda$ y luego de su propio trabajo anterior, $$Tx = \lambda x \ \Longrightarrow \ T^{-1}x = \frac{1}{\lambda}x.$$ Por lo tanto $T^{-1}$ tiene valor propio $\frac{1}{\lambda}$ correspondientes al mismo vector propio $x$ . Así que cada valor propio $\frac{1}{\lambda}$ tiene la misma base eigenspacial que $\lambda$ tiene para el original $T$ .

Por ejemplo, la base correspondiente al valor propio $\frac12$ es el vector $(1,4,0)$ y lo mismo para los otros dos.

Answer 2

Si tu problema es justificar el resultado $T^{-1}x=\lambda^{-1}x$ que observar que, de: $$T(x)=\lambda x$$ si $T$ es invertible, multiplicando ambos lados por $T^{-1}$ tenemos $$ T^{-1}T(x)=T^{-1}(\lambda x) $$ y, por definición de la inversa y linealidad: $$ x=\lambda T^{-1}( x) $$ si $\lambda \ne 0$ tiene una inversa $\lambda^{-1}$ porque es un elemento de un campo, así que, multiplicando ambos lados por $\lambda^{-1}$ vo encontrar: $$ \lambda^{-1} x= T^{-1}( x) $$ y esto significa exactamente que $x$ ( el mismo vector) es un vector propio de $T^{-1}$ para el valor propio $\lambda^{-1}$ .