Estoy resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales, $$ \begin{cases} \dot x = 2x + y +e^t; \\ \dot y = -2x + 2t. \end{cases} $$ Su matriz, valores propios y vectores propios son los siguientes:
$\qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \lambda_{12} = 1 \pm i, \qquad V_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ i - 1\end{pmatrix}, \qquad V_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -i -1\end{pmatrix}$ .
Por lo tanto, la solución es $$ X_0 = e^{(1+i)t}\begin{pmatrix} 1 \\ i-1 \end{pmatrix} = e^t (\cos t+ i \sin t)\begin{pmatrix} 1 \\ i-1 \end{pmatrix} = \\ e^t \begin{pmatrix} \cos t \\ -\cos t - \sin t \end{pmatrix}+i e^t \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t - \sin t \end{pmatrix}. $$ Y para cada variable se obtiene \begin{cases} x_0 = C_1 e^t \cos t + C_2 e^t \sin t; \\ y_0 = C_1 e^t ( -\cos t - \sin t ) + C_2 e^t (\cos t - \sin t). \end{cases} Cuando lo difepencio y lo conecto al sistema original, obtengo una respuesta errónea. Pero ya puedo ver que no es correcto. El libro de texto dice, la respuesta para el sistema homogéneo debe ser $$ \begin{cases} x_0 = C_2 e^t \sin t+ C_1 e^t (\sin t+\cos t); \\ y_0 = C_2 e^t (\cos t-\sin t)-2 C_1 e^t \sin t \end{cases} $$ o $$ X_0 = C_1 e^t \begin{pmatrix} \sin t+\cos t \\ -2 \sin t \end{pmatrix}+ C_2 e^t \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t-\sin t \end{pmatrix} $$ ¿Dónde está mi error? Gracias de antemano.
