Condicionalmente dependiente y correlacionada pero la covarianza condicional esperada es cero

Question

Recordemos que

$$ \textrm{Cov}(X, Y | Z) = E(XY|Z) - E(X|Z)E(Y|Z) $$

y obsérvese que trivialmente tenemos

$$ X \perp \!\!\! \perp Y | Z \Longrightarrow \textrm{Cov}(X,Y|Z) = 0 \Longrightarrow E \textrm{Cov}(X,Y|Z) $$

He encontrado ejemplos en los que $X$ y $Y$ no son condicionalmente independientes dado $Z$ pero la covarianza condicional es cero ( $Y = X + \varepsilon_Y$ , $Z=X+Y+\varepsilon_Z$ donde $X, \varepsilon_Y, \varepsilon_Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ hace el trabajo de forma independiente).

¿A alguien se le ocurre un ejemplo en el que $X$ y $Y$ no son condicionalmente independientes dado $Z$ ¿la covarianza condicional es distinta de cero pero la covarianza condicional esperada es cero? Preferiblemente $X$ y $Y$ debería tener densidades wrt. Lebesgue pero cualquier ejemplo es bienvenido.

¿Es posible encontrar un ejemplo así?

EDITAR:

Creo que tal vez he encontrado una solución en la que $X$ y $Y$ son uniformes independientes en $[-1,1]$ y $Z = XY$ . Entonces $E(XY | Z) = XY$ y pienso $E(X|Z)=E(Y|Z)=0$ pero me cuesta mostrar la última parte. ¿Alguna idea?

Answer 1

Un ejemplo sencillo podría ser $Z$ y $X$ distribuidos de forma independiente y uniforme en $[-1,1]$ y $Y=XZ$ . Entonces $E(XY|Z)=E(X^2Z|Z)=Z/3$ , $E(X|Z)=0$ , $E(Y|Z)=E(XZ|Z)=0$ Así que $\text{Cov}(X,Y|Z)=Z/3$ .

Pero el valor esperado de la covarianza es $E(Z/3)=0$ .