Demuestra que una función es igual a una constante.

Question

Supongamos que $f(x)$ es continua en $[a,b]$ . Y para cualquier función continua $g$ si $\int_a^bg(x)dx=0$ entonces $\int_a^bf(x)g(x)dx=0$ , demuestre que $f(x)$ es una constante.

Traté de convertir esta pregunta para mostrar $f'(x)\equiv0$ pero esto parece imposible utilizando el teorema del valor medio o el teorema de Rolle. ¿Alguna idea?

Answer 1

Tome $g(x)=f(x)-\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx$ . Ciertamente, para esta elección de $g$ tenemos que $g$ es continua y $\int_a^b g(x) dx=0$

A continuación, observamos que si $\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx=0$ entonces

$$\int_a^b f^2(x)dx=\dfrac{1}{b-a}\left(\int_a^b f(x) dx\right)^2$$

Pero por la desigualdad de Cauchy-Scwartz

$$\left(\int_a^b f(x) dx\right)^2\le \int_a^b f^2(x)\, dx\,\,\int_a^b (1)^2\,dx\implies\,\int_a^b f^2(x)\, dx\ge \dfrac{1}{b-a}\left(\int_a^b f(x) dx\right)^2$$

con la igualdad que se mantiene sólo cuando $f(x)$ es una constante. Y eso es todo.

Answer 2

Contorno, al que le faltan algunos pasos intermedios.

Demuestre que si lo anterior es cierto para $f$ , lo que es cierto para $f_1(x)=f(x)-C$ para $C$ cualquier constante. Entonces demuestre:

$$\int_a^b f_1(x)\,dx = 0$$

Para un parrticular $C$ .

Por lo tanto, dejemos que $g(x)=f_1(x)$ y lo conseguimos:

$$\int_a^b f_1(x)^2 \,dx = 0$$

Por lo tanto, mostrar $f_1(x)=0$ para todos $x$ y, por tanto, que $f(x)=C$ para todos $x$ .

Answer 3

Su idea de mostrar $f'(x)\equiv 0$ no funciona porque $f$ no es necesariamente diferenciable. Sin embargo, se puede hacer si suponemos que $f$ tiene una derivada continua.

Dejemos que $G$ sea una función diferenciable sobre $[a,b]$ con $G(a)=G(b)=0$ . Ahora $g=G'$ tiene $\int_a^b g(x) dx = 0$ por lo que integrando por partes, obtenemos $$ \int_a^b f'(x) G(x) \,dx = \left[f(x) G(x) \right]_{x=a}^b - \int_a^b f(x)g(x)\,dx = 0. $$

Si $f'(x)$ es distinto de cero en cualquier punto, entonces como $f'$ es continua existe un intervalo abierto $(c,d) \subseteq [a,b]$ donde $f'$ tiene un solo signo. Sin pérdida de generalidad, supongamos $f'$ es positivo en $(c,d)$ (de lo contrario, podemos considerar $-f'$ en lo siguiente). Sea $G$ sea una función que es cero fuera de $(c,d)$ y tiene valores positivos en $(c,d)$ . (Esta función existe, pero dar una definición completa aquí sería problemático porque $G$ tiene que ser continuo, así que lo omitiré). A continuación, $$ \int_a^b f'(x) G(x) \,dx > 0, $$ que es una contradicción.