Cómo resolver la derivada de $b^x$ utilizando la definición

Question

Sé que la derivada de $b^x$ es sólo $b^x \log{(b)}$ y he visto que se derivan utilizando la regla de la cadena y tal (no es que entienda cómo se hace, acabo de aprender acerca de $e$ hoy así que usando la regla de la cadena para derivar $b^x$ está fuera de mi alcance por ahora). En cualquier caso, estaba tratando de averiguar cómo se puede derivar $b^x$ utilizando la definición de la derivada, $[f(x+h) - f(x)]/h$ . No he podido encontrarlo en internet así que me preguntaba si alguien de aquí me lo podría enseñar. Gracias de antemano.

Answer 1

$$ \frac{d}{dx} b^x = \lim_{h \to 0} \frac{b^{x+h}-b^x}{h} = b^x \lim_{h \to 0} \frac{b^h-1}{h}. $$ En este punto, tienes que evaluar este límite. Aquí tiene un par de opciones. Obviamente L'Hôpital no va a hacer. Una forma es, si su definición de $e^{y}$ es $$ \exp{y} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{k!}, $$ entonces escribe $b^h = \exp{(h\log{b})} $ y puedes evaluar el límite utilizando los primeros términos de la serie.

Por otra parte, si su definición es $$ \exp{y} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{y}{n} \right)^n, $$ tienes un poco más de problema. Esencialmente, esto se reduce a la reordenación $$ y = \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n \to x = n(y^{1/n}-1) $$ Ahora, fija $h=1/n$ y esto se parece a tu límite, así que concluyes que el límite es $\log{b}$ . (Me gustaría ver una versión más limpia de esto, si alguien tiene una que ofrecer: el reordenamiento para obtener la inversa no parece completamente justificado de la forma en que normalmente lo hago).

Y si su definición de $\log{x}$ es una integral, y $\exp{x}$ como su inversa, entonces probablemente sea mejor probar primero que es equivalente a una de las anteriores...

Answer 2

Así es como se podría hacer con la definición $\log b = \int_1^b \frac{\mathrm dx}{x}$ . Sin embargo, no estoy seguro de si se permite el intercambio de derivado y límite en el primer paso.

Por un lado tenemos: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm db}\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\mathrm d}{\mathrm db}\frac{b^h-1}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{hb^{h-1}}{h} = \frac{1}{b}$$ Por otro lado tenemos: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm db}\log b = \frac{\mathrm d}{\mathrm db}\int_1^b\frac{\mathrm dx}{x} = \frac1b$$ Por lo tanto, tenemos $$\lim_{h\to 0}\frac{b^h-1}{h} = \log b+C$$ Para determinar $C$ observamos que con $b=1$ tenemos por un lado $$\lim_{h\to 0}\frac{1^h-1}{h} = 0$$ y por otro lado $$\int_1^1\frac{\mathrm dx}{x} = 0$$ y por lo tanto $C=0$ .