Lema sobre la varianza y las funciones Lipschitz

Question

Me gustaría estar seguro de que este lema es cierto:

Sea $X$ sea una variable aleatoria de valor real definida en algún espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ . Sea $F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función Lipschitz de constante $M$ :

\begin{equation*} \lvert F(x)-F(y) \rvert \le M \lvert x-y \rvert \quad \forall x,y \in \mathbb{R} \end{equation*} Entonces \begin{equation*} \lvert F(\mathbb{E}(X))-\mathbb{E}(F(X))\rvert \le M\sqrt{\mathbb{V}ar(X)} \end{equation*}

Una prueba:

\begin{eqnarray*} \lvert F(\mathbb{E}(X))-\mathbb{E}(F(X))\rvert &\le& \lvert \mathbb{E}(F(\mathbb{E}(X))-F(X))\rvert\\ &\le& \mathbb{E}(\lvert F(\mathbb{E}(X))-F(X) \rvert)\\ &\le& M\mathbb{E}(\lvert \mathbb{E}(X)-X\rvert) \end{eqnarray*}
y una aplicación de la desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestra el resultado.

¿Es correcto?

Answer 1

Lo que tienes hasta ahora es correcto. Para concluir, puedes usar Cauchy-Schwarz como sugeriste, o monotonicidad de $L^p$ normas como sigue: $$E[|E[X]-X|] = || X-E[X] ||_{L^1} \leq || X- E[X] ||_{L^2} = E[|X-E[X]|^2]^{1/2} = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}.$$