Un triángulo en una esfera está formado por los puntos $A$ , $B$ y $C$ . En $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ denotan los ángulos en los puntos correspondientes del triángulo:
En Teorema de Girard establece que la superficie de cualquier triángulo esférico:
$$ A = R^2 \cdot E $$
donde $R$ es el radio de la esfera y $E$ es el ángulo de exceso de $(\alpha + \beta + \gamma - \pi)$
Me pregunto cómo se obtiene esta fórmula.
¿Podría explicar esto con claridad?
Consideremos las siguientes tres partes de la esfera: que $P_A$ sea el lune creado a partir del triángulo $ABC$ más el triángulo adyacente a través del $BC$ segmento de línea, más la lune opuesta (en el lado opuesto de la esfera), y análogamente para las partes $P_B$ y $P_C$ .
El área de $P_A$ es $4\alpha R^2$ el área total de la esfera es $4\pi R^2$ y el área de $P_A$ es ciertamente proporcional a $\alpha$ .
Observe ahora que $P_A\cup P_B\cup P_C$ es toda la esfera, y que $P$ se cruzan en el triángulo + el triángulo opuesto. Por lo tanto tenemos:
área( $P_A$ ) + área( $P_B$ ) + área( $P_C$ ) = área de la esfera + 2 área del triángulo +2 área del triángulo opuesto.
Como los dos triángulos tienen la misma área, se obtiene la fórmula.
Un poco tarde para la fiesta, pero también podemos utilizar Teorema de Gauss-Bonnet que puede utilizarse para otros $2$ -También se aplica a las variedades tridimensionales, como el plano hiperbólico. Afirma que si $M$ es un $2$ -con límites suaves a trozos, entonces $$\int_M K dA +\int_{\partial M} k_g+\sum_i \alpha_i=2\pi \chi(M) $$ donde $K$ es la curvatura de Gauss, $k_g$ la curvatura geodésica (que es cero para las geodésicas), $\alpha_i$ los ángulos en que gira la tangente a la frontera en los puntos en que $\partial M$ no es suave, y $\chi(M)$ la característica de Euler de $M$ .
En nuestro caso $M$ es el triángulo, $K$ es idénticamente $\frac{1}{R^2}$ los ángulos $\alpha_i$ son $\pi-\alpha,\pi-\beta,\pi-\gamma$ y $\chi(M)=1$ . Por lo tanto, la fórmula pasa a ser $$\frac{A}{R^2}+(\pi-\alpha+\pi-\beta+\pi-\gamma) = 2\pi\implies \boxed{A= (\alpha+\beta+\gamma-\pi)R^2}.$$
Hagámoslo un poco más sencillo. Sea $T$ representan el área del triángulo, $A$ la lune definida por $\alpha$ , $B$ la lune definida por $\beta$ y $C$ la lune definida por $\gamma$ . Entonces $(A-2T)+(B-2T)+(C-2T)+2T=4R^2\pi$ . También $A=4R^2\alpha$ , $B=4R^2\beta$ y $C=4R^2\gamma$ . La combinación de estas áreas da $4R^2(\alpha+\beta+\gamma)-4T=4R^2\pi$ o $T=R^2(\alpha+\beta+\gamma-\pi)$ .
Referencia : http://planetmath.org/areaofasphericaltriangle área de un triángulo esférico
Un triángulo esférico se forma uniendo tres puntos de la superficie de una esfera con grandes arcos; estos tres puntos no se encuentran en un gran círculo de la esfera. La medida de un ángulo de un triángulo esférico es intuitivamente obvia, ya que a pequeña escala la superficie de una esfera parece plana. Más precisamente, el ángulo en cada vértice se mide como el ángulo entre las tangentes a los lados incidentes en el plano tangente al vértice.
Teorema. El área de un triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio R es
SABC=(∠A+∠B+∠C-π)R2. (1) Por cierto, esta fórmula demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo esférico debe ser mayor o igual que π, manteniéndose la igualdad en el caso de que el triángulo tenga área cero.
Como la esfera es compacta, puede haber cierta ambigüedad sobre si se está considerando el área del triángulo o su complemento. A efectos de la fórmula anterior, sólo consideramos triángulos con cada ángulo menor que π.
A continuación se muestra una ilustración de un triángulo esférico formado por los puntos A, B y C.
Observa que continuando los lados del triángulo original en grandes círculos completos, se forma otro triángulo esférico. El triángulo A′B′C′ es antípoda de ABC, ya que puede obtenerse reflejando el original a través del centro de la esfera. Por simetría, ambos triángulos deben tener la misma área.
Pruebas. Para la demostración de la fórmula anterior es útil la noción de diángulo esférico. Como su nombre indica, un diángulo está formado por dos grandes arcos que se cruzan en dos puntos, que deben estar situados en un diámetro. A continuación se muestran dos diángulos con vértices en el diámetro AA′.
En cada vértice, estos diángulos forman un ángulo de ∠A. Del mismo modo, podemos formar diángulos con vértices en los diámetros BB′ y CC′ respectivamente.
Obsérvese que estos diángulos cubren toda la esfera y sólo se solapan en los triángulos ABC y A′B′C′. Por lo tanto, el área total de la esfera se puede escribir como
Ssphere=2SAA′+2SBB′+2SCC′-4SABC. (2) Es evidente que un diángulo ocupa un área proporcional al ángulo que forma. Como el área de la esfera es 4πR2, el área de un diángulo de ángulo α debe ser 2αR2.
Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación (2) como
4πR2=2R2(2∠A+2∠B+2∠C)−4SABC,
∴ SABC=(∠A+∠B+∠C-π)R2,
que es igual a la ecuación (1). ∎
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