Teorema 20.17 de Eisenbud: algunas preguntas sobre la demostración

Question

Sea $k$ sea un campo, $S=k[x_1,\dots,x_r]$ y $M$ a finitely-generated, graded $S$ -módulo.

Definición: Decimos que $M$ es débilmente $m$ -regular si $Ext^j(M,S)_n=0$ para todos $j$ y $n=-m-j-1$ . Decimos que $M$ es $m$ -regular si $Ext^j(M,S)_n=0$ para todos $j$ y $n \le-m-j-1$ .

Teorema 20.17 en Eisenbud (CA con vista...): Con la notación anterior, sea $N$ sea el submódulo maximal de $M$ de longitud finita. Si $M$ es débilmente $m$ -regular, entonces $M/N$ es $m$ -regular.

La demostración del teorema procede por inducción sobre $\dim M$ . Si $\dim M>0$ Eisenbud considera una secuencia exacta corta $0 \rightarrow N \rightarrow M \rightarrow M/N \rightarrow 0$ y la correspondiente secuencia exacta larga de $Ext(-,S)$ .

Pregunta 1: ¿Por qué es cierto que $Ext^j(N,S)=0, \forall j<r$ ? Según tengo entendido, $r$ es el número de indeterminados, ¿qué tiene esto que ver con $Ext^j(N,S)$ ? Eisenbud invoca la proposición 18.4, pero esta proposición se aplica a $Ext^j(N,S)$ simplemente dice que $Ext^j(N,S)=0$ para cualquier $j$ inferior al grado de $N$ que es una definición.

Pregunta 2: Aunque $Ext^j(M/N,S) \cong Ext^j(M,S), \forall j<r$ ¿por qué el débil $m$ -regularidad de $M$ implican debilidad $m$ -regularidad de $M/N$ ? ¿Qué le parece $j \ge r$ ?

Pregunta 3: ¿Por qué $(x_1,\dots,x_r)$ no dentro de ningún primo asociado de $M/N$ ?

Answer 1

1) $\text{grade}(N) := \text{grade}(\text{ann}(N))$ pero $N$ tiene longitud finita, por lo que $\text{ann}(N)$ es primario al ideal maximal $(x_1,...,x_r) =: \mathfrak{m}$ Así que $\text{grade}(\text{ann}(N)) = \text{grade}(\mathfrak{m})$ .

2) ¿Cuál es la dimensión global de $S$ ? ¿Qué significa esto sobre $\text{Ext}^j_S(\_, \_)$ para $j > r$ ? Para $j = r$ Obsérvese que $\text{Ext}^r(M/N,S)$ inyecta en $\text{Ext}^r(M,S)$ .

3) El ideal máximo $\mathfrak{m}$ está asociada a $M/N$ si $\text{depth}(M/N) = 0$ . Pero por definición de $N$ , $\text{depth}(M/N) > 0$ . Alternativamente, si $R/\mathfrak{m} \cong k \hookrightarrow M/N$ entonces $M/N$ contendría un submódulo de longitud finita.