Función para la cual regla trapezoidal supera a la regla del punto medio de cada $n$

Question

Hay un continuo de primaria función de $f:[0,1]\to [0,\infty)$ tal que para cada a $n$ la aproximación trapezoidal a $\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ $n$ trapezoides es estrictamente mejor que el punto medio de la aproximación con $n$ rectángulos?

El punto de esta pregunta es que aunque el punto medio de la aproximación de una integral es generalmente mejor que la aproximación trapezoidal, hay, para cada una de las $n$, una función continua $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ de manera tal que la aproximación trapezoidal a $\int_{0}^{1}f(x)\,dx$ $n$ trapezoides es mejor que el punto medio de la aproximación con $n$ rectángulos. Ver aquí para ver un ejemplo.

He añadido la restricción de que el $f$ elemental, así que puedo hablar de la respuesta con mi cálculo estudiantes. He añadido la restricción de que el $f$ ser no negativo para la simplicidad.

Answer 1

Considere una función de la forma $$ f(x) = \sum_{j=1}^\infty c_j \cos(2 \pi j x) $$ A continuación, los errores de $ME(n)$ $TE(n)$ en el punto medio y el trapecio reglas son $$\eqalign{TE(n) &= \sum_{k=1}^\infty c_{kn} \cr ME(n) y= 2 TE(2n) - TE(n) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k} c_{kn} \cr}$$ Por ejemplo, supongamos $c_j = (-1)^{d(j)} 2^{-j}$ donde $d(j)$ $2$- ádico orden de $j$, es decir, $d(j) = d$ si $2^d$ divide $j$ pero $2^{d+1}$ no. Entonces si $d(n) = d$ hemos $$ \eqalign{TE(n) y= (-1)^d \left(\sum_{k\; impar} 2^{kn} - \sum_{k\; impar} 2^{-2kn} + \sum_{k \; impar} 2^{-4 kn} + \ldots\right)\cr Y= (-1)^d \left( \dfrac{2^{n}}{1-4^{-n}} - \dfrac{2^{-2n}}{1-4^{-2n}} + \dfrac{2^{-4n}}{1-4^{-4n}} - \ldots \right)\cr } $$ mientras $$ ME(n) = (-1)^{d+1} \left( \dfrac{2^{-n}}{1-4^{-n}} + \dfrac{2^{-2n}}{1-4^{-2n}} - \dfrac{2^{-4n}}{1-4^{-4n}} + \ldots \right) $$ por lo $|ME(n)| > |TE(n)|$.