Diferenciación implícita $xy+e^y = e$

Question

Intento encontrar el valor de $y''$ cuando $x= 0$ para $xy+e^y = e$

Esto me parece bastante simple y directo

$xy' + y + e^y y' = 0$

a continuación, derivar de nuevo

$xy'' + e^y y'' = -e^y y'y' - y'$ lo cual no es correcto y no se porque, de hecho el libro obtiene alguna respuesta loca con solo una e en ella lo cual me parece imposible ya que la e desaparecerá.

Answer 1

Al diferenciar $xy'$ necesitas ambos la regla de la cadena y la regla del producto.

Del mismo modo para $e^y y'$ .

Edición posterior:

Al diferenciar $xy'$ obtienes $xy'' + y'$ .

Al diferenciar $y$ obtienes $y'$ .

Al diferenciar $e^y y'$ obtienes $e^y y' y' + e^y y''$ .

Así que tienes cinco términos, y dos de ellos son términos "similares" que se pueden "recopilar".

Y usted debe notar que cuando $x=0$ entonces $y=1$ . Esto implica que cuando $x=0$ entonces $y' = -1/e$ .

La conclusión que saco es que cuando $x=0$ entonces $y''=1/e^2$ .