Demuestra que $|f'(0)|\le\max \{\frac{a}{b^2},\frac{b}{a^2}\}$

Question

Sea $D=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ y $$E=\left\{w=u+iv\in\mathbb{C}:\frac{ u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}<1\right\}$$

donde $a$ y $b$ son números positivos. Sea $f:E\to D$ sea holomorfa. Demuestre que $$|f'(0)|\le\max \left\{\frac{a}{b^2},\frac{b}{a^2}\right\}$$ Puede utilizar sin pruebas el hecho de que los puntos críticos de $$\rho(t)=\frac{(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t)^{1/2}}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}$$ son exactamente los ceros de $\sin(2t)$

Mi opinión :

Si $0<r<1$ está cerca de $1$ entonces $\gamma(t)=ra\cos t+irb\sin t$ se encuentra en $E$ y cerca de $\partial E$ .

Quizás podamos utilizar el lema de Schwarz ya que queremos acotar $|f'(0)|$ ? Entonces por el teorema del mapa de Riemann puedo mapear la región $E$ a un disco unitario. Entonces, ¿cómo determinar la forma del mapa?

¿Es ésta la dirección correcta para resolver este problema? También lo que hace ceros de $\sin 2t$ tiene que ver aquí?

¿Podría alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Sugerencia : El límite de $E$ puede parametrizarse mediante $z(t) = a\cos t + ib\sin t$ para $t \in [0,2\pi]$ .

Por la fórmula Integral de Cauchy, tenemos:

$|f'(0)|$ $= \left|\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{\partial E}\dfrac{f(z)}{z^2}\,dz\right|$ $= \left|\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{f(z(t))}{z(t)^2}z'(t)\,dt\right|$ $\le \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{|f(z(t))|}{|z(t)|^2}|z'(t)|\,dt$

$\le \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\dfrac{1}{a^2\cos^2 t + b^2\sin^2 t}(a^2\sin^2t + b^2\cos^2t)^{1/2}\,dt$ $= \dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\rho(t)\,dt$ .

¿Puedes acotar la última integral usando el hecho de $\rho(t)$ dado en el problema?