¿Cuál es la definición de $W^{1,\infty}_0(\Omega)$ ?

Question

No encuentro una definición del espacio $W_0^{1,\infty}(\Omega)$ donde $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ abierto acotado de clase $C^1$ .

¿Debo tomar $C_c^{\infty}(\Omega)$ y considerar el cierre en $W^{1,\infty}$ norma, como en el caso $p\in[1, \infty)$ ?

¿Cuál es la definición de este espacio?

Gracias.

Answer 1

El espacio $W^{1,\infty}(\Omega)$ suele definirse como todas las funciones $v \in L^\infty(\Omega)$ con derivadas débiles de primer orden y estas derivadas pertenecerán a $L^\infty(\Omega)$ .

A continuación, puede definir $W_0^{1,\infty}(\Omega) := H_0^1(\Omega) \cap W^{1,\infty}(\Omega)$ es decir, todas las funciones en $W^{1,\infty}(\Omega)$ cuya traza es cero.

Tenga en cuenta que $C_c^\infty(\Omega)$ no es denso en $W^{1,\infty}(\Omega)$ . De hecho, si $\{v_n\}\subset C_c^\infty(\Omega)$ converge hacia $v$ en $W^{1,\infty}(\Omega)$ las derivadas (continuas) de $\{v_n\}$ convergen uniformemente hacia las derivadas de $v$ . Por lo tanto, $v$ tiene derivadas continuas. Pero no todas las funciones en $W^{1,\infty}(\Omega)$ poseen derivadas continuas.