Demostrar: el operador de densidad de un estado puro tiene exactamente un valor propio distinto de cero igual a la unidad

Question

¿Cuál es la forma correcta de demostrar : el operador de densidad $\hat{\rho}$ de un estado puro tiene exactamente un valor propio distinto de cero y es la unidad, es decir

la matriz de densidad adopta la forma (después de diagonalizar): \begin{equation} \hat{\rho}= {\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix}} \end{equation}

Para estado mixto: $\hat{\rho}=\sum \limits_{i}P_{i}|\psi_{i}\rangle\langle\psi_{i}|$

Para cualquier estado: $Tr(\hat{\rho})=\sum\limits_{i}P_{i}=1$

Para el estado puro: $\hat{\rho}=|\psi\rangle\langle\psi|$

$|\psi\rangle$ es el vector de estado del sistema

$P_{i}$ es la probabilidad de estar en el estado $|\psi_{i}\rangle$ que son los valores propios del operador de densidad.

Answer 1

Desde $\langle \psi|\psi\rangle=1$ tenemos $$ (|\psi\rangle\langle\psi|)^2=|\psi\rangle\langle\psi|\psi\rangle\langle\psi|=|\psi\rangle\langle\psi| $$ Entonces $|\psi\rangle\langle\psi|$ es una proyección, y sus valores propios son $0$ y $1$ . Como sabemos que la traza de $|\psi\rangle\langle\psi|$ es uno concluimos que, contando las multiplicidades, los valores propios de $|\psi\rangle\langle\psi|$ son $1,0,\ldots,0$ . Por tanto, su forma diagonal es \begin{equation} \hat{\rho}= {\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix}} \end{equation}

Answer 2

¿No sabes encontrar los valores propios de una matriz resolviendo la "ecuación característica" de la matriz? La ecuación característica de cualquier matriz diagonal es sólo el producto de términos lineales, cada uno el número en la diagonal menos x por lo que los valores propios [b]son[/b] los números en la diagonal.